正態分佈

　　最重要的一種概率分佈。若隨機變數x取不超過實數x的值這一事件的概率為

式中 μ、 σ為實參數數，且 σ＞0，則 x的分佈稱為（一維）正態分佈或高斯分佈，記作 N( μ， σ ²)。它是具有密度函數 的連續型分佈。

　　正態分佈最早由A.棣莫弗(1730)在求二項分佈的漸近公式中得到。C.F.高斯在研究測量誤差時從另一個角度導出瞭它。P.-S.拉普拉斯和高斯研究瞭它的性質。

　　生產與科學實驗中很多隨機變量的概率分佈都可以近似地用正態分佈來描述。例如，在生產條件不變的情況下，產品的強力、抗壓強度、口徑、長度等指標；同一種生物體的身長、體重等指標；同一種種子的重量;測量同一物體的誤差；彈著點沿某一方向的偏差；某個地區的年降雨量;以及理想氣體分子的速度分量，等等。一般來說，如果一個量是由許多微小的獨立隨機因素影響的結果，那麼就可以認為這個量具有正態分佈（見中心極限定理）。從理論上看，正態分佈具有很多良好的性質，許多概率分佈可以用它來近似；還有一些常用的概率分佈是直接由它導出的，例如對數正態分佈，t(n)分佈，

²( n)分佈， F( n ₁， n ₂)分佈等。

　　正態分佈N(μ，σ²)的密度函數φ(x；μ，σ)的圖像是一條位於x軸上方的鐘形曲線（圖1

），它在 x＝ μ處達到最大值，而且關於 x＝ μ對稱； σ越小，分佈越集中在 x＝ μ附近， σ越大，分佈越分散；曲線在離 x= μ較遠處很快接近於0。若隨機變量 x遵從正態分佈 N（ μ， σ ²），則 p(| x- μ|＜2 σ)≈95.45％， p(| x- μ|＜3 σ)≈99.73%；它的 數學期望、 方差與特征函數(見 概率分佈)分別是 μ， 與 。

　　當μ=0，σ=1時，即N(0，1)，稱為標準正態分佈，其密度函數及分佈函數分別為

及

若隨機變量 x遵從分佈 N（ μ， σ ²），則( x- μ)/ σ遵從分佈 N(0，1)，而且 。由於有這種關系，在應用中隻需對 N(0，1)編造各種數值表供查。

　　多維正態分佈　對n維隨機向量X=(x₁，x₂，…，x_n)，其n維正態分佈是以

為密度函數的連續型概率分佈，記作 N（ ， ∑）或 N _n( ， ∑)，其中 ， 是 n維歐幾裡得空間 R ⁿ中的點，

， ′表示 的轉置；｜ ∑｜和 ∑ ^-1分別表示 n× n正定對稱矩陣 的行列式和逆矩陣。二維正態分佈的密度函數通常寫成如下形式(即在前式中 n=2，又在 中，令

)：

式中 ，其圖像如圖2 。 的特征函數是

　　　　

當 ∑為退化的非負定矩陣時， ∑ ^-1不存在；但根據特征函數與分佈函數相互惟一確定的定理，仍可將 定義為以上述 f( t)為特征函數的 n維概率分佈，這時它不存在密度函數，稱為 n維退化正態分佈，它的質量集中在某個 k(＜ n)維子空間上， k是矩陣 ∑的秩。由多維正態分佈也可導出其他一些重要的多維分佈，如維夏特分佈， T ²分佈（見 多元統計分析）等。

　　多維正態分佈有以下的性質：設

有概率分佈 ，則 ， k， j=1，2，…， n， ∑是 x的協方差陣; 的任何邊緣分佈仍然是正態分佈; x ₁， x ₂，…， x _n獨立的充分必要條件是 σ _jk=0，對一切 j≠ k， j， k=1，2，…， n成立;設 C為任一 m× n實矩陣，則 m維隨機向量 遵從正態分佈

，其中 C′為 C的轉置；特別，遵從分佈 的隨機變量 x _j， j=1，2，…， n，若相互獨立，則它們的和 遵從分佈 。 n維隨機向量 遵從 n維正態分佈的充分必要條件是它的任一線性組合都遵從正態分佈。