一種特定的全純函數族，是P.蒙泰爾1912年提出的一種理論，在複變函數論中有著廣泛的應用。關於複平面上的點集有以下簡單事實：如果E是複平面上的一個有界點集（即E中的點均位於某一個圓｜z｜＜R內），那麼從E中每一個點序列z>n(n＝1，2，…)都可以選出一個子序列z

( k=1，2，…)收斂到一個極限點。蒙泰爾首先將這個事實推廣到在一個區域內一致有界的全純函數族：如果 F是在一個區域 D內的一個一致有界全純函數族（即存在一個正數 M使對於 F中每一個函數 f( z)，不等式| f( z)|≤ M在 D內成立），那麼從 F中每一個函數序列 f n( z)( n＝1，2，…)都可以選出一個子序列 f ( z)( k=1，2，…)在 D的內部一致收斂到一個全純函數。這裡，族的意思就是集合；在 D的內部一致收斂的意思是“在每一個連同邊界都屬於 D的有界區域內”都一致收斂。蒙泰爾的以上定理在他的正規族理論中起著基本的作用，並在保角映射理論中有重要應用。

　　蒙泰爾註意到，以上定理中條件|f(z)|≤M表示函數f（z）在區域D內不取圓｜w｜=M外之值，然後他考慮全純函數族F中的函數f（z）在區域D內均不取一個圓|w-α|＜m內之值的情形，並發現從F的每一個函數序列fn(z)(n=1，2，…)中，都可選出一個子序列f

( z)( k=1，2，…)在 D的內部一致收斂到一個全純函數或一致收斂到常量∞。由此他提出瞭全純函數正規族的定義：

　　如果從全純函數族F的每一個函數序列fn(z)(n＝1，2，…)中，都可以選出一個子序列f

( z)( k=1，2，…)在 D的內部一致收斂到一個全純函數或一致收斂到常量∞，則區域 D內的全純函數族 F稱為在 D內為正規的。

　　因此，一個全純函數族F在一個區域D內為正規的一個充分條件是F中的函數在D內均不取同一個圓C外之值，另一個充分條件是不取C內之值。凡是這樣的充分條件都稱為正規性定則。經過進一步的研究，蒙泰爾證明瞭：F中的函數在D內均不取兩個固定的有窮值α及b，是一個正規性定則。這個定則可使復變函數論中過去看來是松散的幾個定理呈現緊密的聯系，如從這個定則很容易推出皮卡第一定理：一個非常數的整函數f（z）取每一個有窮值，最多除去一個例外值。證明方法是引進函數序列

，如果以上皮卡定理不成立，則根據蒙泰爾的正規性定則，這個函數序列構成在圓｜ z｜＜2內的一個正規族，而導出矛盾。用類似的方法，也可以從蒙泰爾的正規性定則推出皮卡第二定理：如果一個函數 f( z)在一區域0＜｜ z｜＜ ρ為全純並以 z＝0為本性奇點，則在此區域內函數 f( z)取每一有窮值無窮次，最多除去一個例外值。根據蒙泰爾的正規性定則還可以證明下列朔特基定理：如果一函數 f( z)在一圓｜ z｜＜ R內為全純並且不取值0和1，則在每一圓｜ z｜＜ θ R(0＜ θ＜1)內，函數 f( z)的模小於一個隻依賴於 f(0)及 θ的正數。由此定理，利用柯西不等式，又可推出蘭道定理：如果一函數 f( z)滿足朔特基定理中條件並且 f′(0)≠0，則 R不超過一個隻依賴於 f(0)及 f′(0)的上限。

　　蒙泰爾引進正規族的概念之後，又進一步引進瞭擬正規族的概念。全純函數擬正規族的定義和全純函數正規族的定義的差別是：不要求子序列f

( z)( k=1，2，…)在 D的內部一致收斂，而隻要求除去 D內有窮個點（或無窮個點，但在 D內沒有凝聚點）後，在所餘的區域內部一致收斂，然後他將G.維塔列的一個定理推廣為：如果在一個區域 D的一個全純函數序列屬於一個正規族或擬正規族，並且在 D內無窮個點收斂到有窮極限，而這無窮個點在 D內最少有一個凝聚點，則此全純函數序列在 D的內部一致收斂。

　　經過C.卡拉西奧多裡、E.G.H.蘭道、蒙泰爾及A.奧斯特羅夫斯基的工作，亞純函數正規族的理論也建立起來。如果一致收斂性是用球面距離來定義，那麼亞純函數正規族的定義如下：如果從亞純函數族F的每一個函數序列fn(z)(n=1，2，…)中，都可以選出一個子序列f

( z)( k=1，2，…)在一個區域 D的內部一致收斂，則 D內的亞純函數族 F稱為在 D內為正規的。關於亞純函數族蒙泰爾的正規性定則是： F中的函數在 D內均不取三固定的值 α， b及с（有窮或無窮）。類似地也可以給出亞純函數擬正規族的定義。

　　全純函數正規族及亞純函數正規族的理論已經發展到完善的地步。這個理論中的一個重要研究問題是尋求新的正規性定則。關於這個問題已有許多工作，在這方面，A.佈洛赫的下列猜測很有指導意義：如果p是一個性質，非常數的整函數不具有性質p，那麼在一個區域內具有性質p的全純函數族是正規的。這個猜測在一些例子中都是對的。例如，與關於整函數的劉維爾定理相應的是以上蒙泰爾的關於一致有界的全純函數族的定理；與關於整函數的皮卡定理相應的是以上蒙泰爾的關於有兩個例外值的全純函數族的定則。此外，佈洛赫還根據他的下列定理：如果函數f(z)於｜z｜＜1為全純，f(0)=0並且f′(0)＝1，則存在一個半徑大於一絕對常數的圓，在其中函數f(z)的反函數有一分支為全純；推出瞭一個新的正規性定則：在一個區域D的全純函數族F，如果F中的函數的反函數的全純圓域的半徑小於一個固定的常數，那麼F在D為正規。

　　

參考書目

　P.Montel，Léçons sur les familles NorMales de Fonctions Analytiques et Leurs Applications，Gauthier-Villars，Paris，1927.

　G.Valiron，familles NorMales et Quasi-norMales de Fonctions Méromorphes，Mémorial des Sc.Math.，fasc.38，Gauthier-Villars，Paris，1929.