向量的推廣。在一個坐標系下，它是由若幹個數(稱為分量)來表示，而在不同坐標系下的分量之間應滿足一定的變換規則，如矩陣、多變數線性形式等。一些物理量如彈性體的應力、應變以及運動物體的能量動量等都需用張量來表示。在微分幾何的發展中，C.F.高斯、（G.F.）B.黎曼、E.B.克裏斯托費爾等人在19世紀就導入瞭張量的概念，隨後由G.裏奇及其學生T.列維－齊維塔發展成張量分析，A.愛因斯坦在其廣義相對論中廣泛地利用瞭張量。
設<n維空間中向量v在坐標系 {x1，x2，…，xn}下的分量為(V1，V2，…，Vn)，而在另一坐標系{x1，x2，…，xn}下它的分量為(V1，V2，…，Vn)，則有
，其中
，是坐標變換，又稱
v為反變向量或一階反變張量。又如，某一個幾何量在坐標系{
x}下用
n個分量
A
j表示，在另一坐標系{
x}下的分量為Ā
i，若總有
，則稱此量為協變向量或一階協變張量。在張量運算中常采用愛因斯坦和式約定，凡上、下指標字母相同，就表示對這一對指標自動從1到
n求和，而略去記號∑。一般地說，如果有一個幾何量，它在每個坐標系下都有一組分量，不同坐標系下分量間有下述變換規則：如在{
x}系下它用
n
s+k個分量
來表示，而在{
x}系下的
n
s+k個分量為
，
則稱此量為(s+
k)階混合張量，更確切地稱它為s階反變、
k階協變張量。例如，黎曼流形的度量在局部坐標系下可寫為
式中
g
ij就是一個二階協變張量。
如果張量的分量
，則稱此張量關於指標
r，s為對稱；如
，則它關於指標
r，s為反對稱。對高階張量的任一對協變或反變指標也可定義它的對稱或反對稱性質。如果協變張量對其任一對指標均反對稱，則稱它為全反對稱協變張量。對稱性質及反對稱性質在坐標變換下是不變的。
張量間有加法、乘法運算，其運算規則為
對混合張量的某一個協變指標及某一個反變指標，可作縮並運算，即將這兩個指標從1到
n求和，從而得到一個其反變、協變階數都降低瞭一階的新的張量。
上述張量都假定其分量是n維空間中某點x的函數，
。當點
x在空間的某區域
D中變動時，每點處有一個張量，於是就得到瞭一族張量，稱為
D上的一個張量場，上述各種運算對張量場都是適用的。對張量場可施行絕對微分運算，並發展成
張量分析（見
黎曼幾何學）。
自50年代以來，由於整體幾何發展的需要，人們經歷瞭一次符號的變更，從裡奇及列維-齊維塔的局部張量的符號下擺脫出來，采用瞭與坐標系選取無關的方式來表達張量，流形M上點x處的反變向量即為切空間TxM的元素，而協變向量(或稱餘切向量)ω則是切空間TxM上的一個線性泛函ω：TxM→R，即餘切空間T懜M中的元素，x處的一個k階協變、s階反變張量
即為多重線性函數
如在
T
x
M中取基{
e
j}，其對偶基為{
ω
j}，則
為張量
在基{
e
i}下的分量。流形
M上相同階次的張量組成一個以
M為底的
纖維叢（張量叢），張量場是它的截面，切叢、餘切叢、向量場、一次微分形式都是它們的特例。
張量在近代數學和物理中有廣泛的應用。
參考書目
L.P.Eisenhart，RieMannian Geometry，PrincetonUniv.Press，Princeton，1949.
S.Kobayashi and K.Nomizu，Foundations of Differential Geometry，Vol.1，John Wiley &Sons，New York，1963.