代數學中基本的概念之一。設F是至少含有兩個元素的一集合，在F上定義瞭兩個（二元）運算，一個叫做加法，一個叫做乘法，它們都滿足交換律、結合律，而且乘法對於加法有分配律；對於加法，F有零元素、每個元素有負元素；對於乘法，F有單位元素，除去零元素外，每個元素有逆元素，這樣的代數結構就稱為域。例如全體有理數數、全體實數或全體復數在通常的運算下，都是域；又如全體形如
的數，其中
α、
b是有理數，它們對加減乘除(零不作除數)是封閉的，因之也構成域。再如，取一素數
p。考慮整數模
p的全體剩餘類
，如果把通常的加法與乘法改成作完加法與乘法後，再取所在的同餘類，那麼在
F
p上就定義瞭兩個運算。由整數與素數的性質，容易驗證，
F
p是域。
域的概念是在19世紀代數學的發展中逐步形成並明確起來。在E.伽羅瓦研究方程的著作中就用到瞭域的概念。在J.W.R.戴德金與L.克羅內克關於代數數的著作裡從不同的背景也提出瞭域的概念。雖然他們還沒有域的抽象定義，但是域這個詞卻出自戴德金。域的抽象理論是由H.韋伯開始的。稍後，戴德金和E.V.亨廷頓獨立地給出瞭域的公理系統。在H.韋伯的影響下，E.施泰尼茨對抽象域進行瞭系統的研究。他的研究結果全寫在他1910年的基本論文“域的代數理論”中。
如果F是域E的一個子集合，它在E的運算下也成一個域，那麼域F就稱為域E的一個子域，而域E稱為域F的一個擴域。例如，有理數域是實數域的一個子域，而實數域是有理數域的一個擴域。
對於任意一個抽象的域F，考慮單位元素e生成的加法群，即{0，±e，±2e，±3e，…}。它有兩個可能。如果對任意正整數n，ne≠0，也就是說，它是一個無限循環群。在這一情形，F包含所有的商ne/me，n、m為整數，m≠0。顯然這樣元素的全體構成F的一個子域。這個子域可以與有理數域等同起來。這時稱域F的特征為零。
另一個可能是存在一最小的正整數p，使pe=0。容易證明，這樣的p一定是素數，而且此時{0，e，…，(p-1)e}，已經構成F的一個子域。這個子域可以與整數模p的域Fp等同起來。這時稱域F的特征為p。
按照特征把域分成兩大類：一類是特征為零的域；一類是特征為p的域。這兩類域在性質上有不少重要的差別。
研究域的一般方法是在域E中取定一個子域F作為基域，然後討論擴域E相對於基域F的代數性質。E和F的關系記作E/F。E中包含F的子域叫做E/F的中間域。E/F的中間域可以如下產生：取定E的任一子集S。考慮一切有理分式
，
，其中
f和
g都是
S中任意有限子集α
1，α
2，…，α
r的多項式，而系數屬於
F。所有這種有理分式構成
E/
F的一個中間域，記為
F(
S)，稱為
S在
F上生成的子域。若
有限，則
F(
S)記為
F(α
1，α
2，…，α
r)，稱之為有限生成的。特別由一個元素α生成的子域
F(α)，稱為
F上的單擴張。域擴張可分為代數擴張和超越擴張。
代數擴張 若E的元素α是F上一個非零多項f(x)的根，則α叫做F上的代數元域α在F上是代數的。否則，α叫做F上的超越元。以代數元α為根的多項式中必有惟一的一個首項系數為1的次數最低的多項式m(x)，叫做α的極小多項式。m(x)是F上的不可約多項式。此時F(α)叫做F上的單代數擴張。F(α)和商環F[x]/(m(x))成F同構，即保持F的元素不動的環同構。若E的全部元素都是F上的代數元，則E/F叫做一個代數擴張。不難證明，代數擴張有傳遞性，即若E/L和L/F都是代數擴張，則E/F也是代數擴張。從而可知，在任意域擴張K/F中代數元全體對四則運算是封閉的，即代數元的和、差、積、商(0不作除數)仍為代數元。因而K/F的全部代數元構成K/F的一個中間域E，叫做E在K內的代數閉包。此時每個元素α∈K但α
E，在
E上都是超越的。
E可以看作基域F上的線性空間，它的維數叫做E/F的次數，記成[E：F]。如果[E：F]有限，那麼E/F叫做有限擴張。有限擴張都是代數擴張。若E/F是一個有限擴張，L為一個中間域，則次數公式[E：F]=[E：L]·[L：F]成立。
為瞭研究F上多項式的根的代數性質，需要把多項式的全部根放到同一個擴域中去考慮。當F是有理數域時，則復數域能起這樣的作用。這可以從歷史上的代數基本定理導出。但是如果F是一個特征p＞0的域，那麼在此時復數域已無能為力，替代復數域的是多項式的分裂域。設f(x)是F上一個次數>1的多項式，就在F上造一個擴域使得f(x)在其中完全分解成一次因式的乘積。首先取f(x)的一個不可約因子p(x)，作商環F1=F[x]/(p(x))。F1是F上的一個擴域而且包含f(x)的一個根α＝x＋(p(x))。然後，從F1出發，重復構造F1/F的辦法，再作出一個域擴張F2/F1使之F2包含f(x)的更多的根，如此繼續下去，直到做出一個有限擴張E/F使得f(x)在E內完全分解成一次因式的乘積。具有這種性質次數最低的擴域E/F，叫做f(x)的一個分裂域。可以證明，f(x)在F上的任意兩個分裂域是成F同構的。因而除F同構不計外f(x)在F上的分裂域是惟一的。分裂域有一個重要的定性刻畫。一個代數擴張E/F若有性質：“如果F上任一不可約多項式f(x)在E中有一根，那麼f(x)在E內已能完全分解成一次因式的乘積”，則E/F就叫做F上的一個正規擴張。這樣，分裂域可以刻畫如下：一個有限擴張E/F為正規擴張的充分必要條件是，E/F為某個多項式在F上的分裂域。一個多項式的諸根間的代數性質，完全可以由它的分裂域E/F的代數性質反映出來。
下面引進的概念是和基域F的特征密切相關的。F上一個不可約多項式f(x)的根的重數是在它的分裂域內計算的。由於分裂域的惟一性，根的重數概念是不依賴於分裂域的選取的，因而有確定的意義。但是一個不可約多項式f(x)是否有重根的問題則是和基域的特征密切相關的。為瞭弄清它們的關系引進可分多項式的概念。若F[x]中一個不可約多項式f(x)沒有重根（重數＝1)，則f(x)叫做F上的可分多項式。否則叫做F上不可分多項式。可分和不可分多項式的根分別叫做F上的可分元和不可分元。若一個代數擴張E/F的元素在F上都是可分的，則F/F叫做可分擴張；否則叫做不可分擴張。特征為0的域上不可約多項式都是可分的，而當F的特征為素數時，則可能出現不可分多項式。例如F=Fp(t)，Fp為p個元素的域，t在Fp上為超越元。Fp(t)為t的有理分式域，此時f(x)=xp-t在F上不可約，但在它的分裂域中f(x)卻可分解成
，其中
θ是
x
p-
t的一根。
θ是一個
p重根，因而
x
p-
t是不可分的。和代數擴張情況一樣，可分擴張也有傳遞性而且可分元素的和、差、積、商(0不作除數)都是可分的。因此任一代數擴張
E/
F包含一個由全部可分元組成的中間域
E
S，叫做
F在
E內的可分閉包。此時每個α∈
E但α
E
S在
E
S上都是不可分的，稱
E/
E
S為純不可分擴張。應該指出，一個有限可分擴張
E/
F可以用一個元素α生成即
E=
F(α)，α叫做
E/
F的一個本原元素。有一類重要的特征為素數的域和特征為0的域有相同的性質，它就是完全域。若域
F上所有不可約多項式都是可分的，則
F叫做一個完全域。
F是一個完全域，當且僅當
F的特征為0或者
F的特征為素數
p而且
F的每個元素在
F內可開
p次方。
超越擴張 設E/F為一個任意域擴張，F[x1，x2，…，xr]為多元多項式環。若E的一個有限子集
是
F[
x
1，
x
2，…，
x
r]中某個非零多項式
g(
x
1，
x
2，…，
x
r)的零點，即
，則
N叫做
F上的代數相關集或在
F上是代數相關的。否則
N叫做在
F上的代數無關集或在
F上是代數無關的。若
E的一個子集
S的所有有限子集在
F上都是代數無關的，則
S叫做在
F上是代數無關的或
F上的代數無關集。
E的一個子集
S叫做
E/
F的一個超越基，是指
S滿足以下兩個條件：①
S在
F上代數無關；②
E是
F(
S)上的代數擴張。容易證明，任一非代數擴張
E/
F都有超越基而且任意兩個超越基有相同的基數。這個共同的基數就叫做
E/
F的超越次數，記作trdeg
E/
F。代數擴張的超越基是空集。它的超越次數規定為零。對於任一域鏈
F⊂
L⊂
E，次數公式
trdeg
E/
F=
trdeg
E/
F+trdeg
L/
F成立。
設trdegE/F＞O，若存在這樣的超越基S使得E=F(S)，則E/F叫做一個純超越擴張。純超越擴張E=F(S)和F上一組未定元x的多項式環F[x]的商域F(x)成F同構，其中x與S有相同的基數。超越次數為1的純超越擴張E=F(t)叫做單超越擴張。關於單超越擴張有著名的呂洛特定理：單超越擴張E=F(t)的每個大於F的中間域都還是F上的單超越擴張。
呂洛特定理有它的幾何意義。平面上一條不可約代數曲線F(x，y)=0叫做有理的，是指存在參數t的有理函數φ(t)和ψ(t)滿足以下兩條件：①除去t的有限個值外，恒有f(φ(t)，ψ(t))=0，②除去f(x，y)=0的有限個點外對每個點p(x，y)存在惟一的一個t值使得p=(φ(t)，ψ(t))。呂洛特定理斷言，對不可約代數曲線f（x，y）=0若存在參數t的有理函數φ(t)和ψ(t)滿足條件①，則也存在參數t′的有理函數φ1(t′)和ψ1(t′)滿足條件①和②。因而f(x，y)=0是一條有理曲線。
若E/F有一個超越基S使得E是F(S)上的可分代數擴張，則E/F叫做可分生成的。顯然純超越擴張是可分生成的。若E/F的每個有限生成的中間域都是可分生成的，則E/F叫做一個可分擴張。關於可分擴張有下列事實成立：①可分代數擴張就是現在意義下的可分擴張；②純超越擴張是可分代數擴張；③可分擴張同可分代數擴張一樣也有傳遞性；④若E在F上是可分的，則任一中間域L在F上也可分。但是必須註意，從E/F可分得不出E/L可分的結論，這點與可分代數擴張是不同的。還應該指出，當trdegE/F無限時，可分擴張不必是可分生成的。
參考書目
張禾瑞著：《近世代數基礎》，人民教育出版社，北京，1978。B.L.范德瓦爾登著，丁石孫、曾肯成、郝炳新等譯：《代數學》，第1冊，科學出版社，北京，1963。(B.L.Waerden，Algebra，Vol.1，Springer-Verlag，Berlin，1955.)
N.Jacobson，Lectures in abstract Algebra，The Theory of Fields and Galois Theory，Vol.3，Springer-Verlag，New York，1964.