有界變差函數-百科詞條

　　常用的一類函數。最初是由C.若爾當為研究曲線長度而引進的，它在曲線求長問題、曲線積分、黎曼-斯蒂爾傑斯積分、勒貝格－斯蒂爾傑斯積分以及矩量問題中具有重要地位。這類函數中有兩個重要的子類單調函數類和絕對連續函數類。

　　單調函數　設f(x)是定義在區間[α，b]上的實值函數。如果對[α，b]中滿足x₁＜x₂的任何兩點x₁，x₂都成立f(x₁)≤f(x₂)，那麼稱f(x)是[α，b]上單調增加函數(又稱單調上升函數)。類似地有單調減少函數(單調下降函數)。它們統稱為單調函數，關於單調函數的連續性、可積性、可微性有如下結論：①單調函數隻能有第一類不連續點，並且不連續點至多隻有可列數個。②區間[α，b]上單調函數必黎曼可積。③對區間[α，b]上單調函數f(x)，必存在一個勒貝格測度等於零的集，在這個零集之外，f(x)有有限導數

，而且它是勒貝格可積的，且滿足

。單調函數概念還可推廣到開區間和無限區間等情況。

　　有界變差函數　設f(x)是定義在[α，b]區間上的有限函數。對分點組D：

，作和式

因此有 σ( f， D)= σ ⁺( f， D)+ σ ^-( f， D)。如果數集{ σ( f， D)}有上界，則稱 f( x)為[ α， b)]上的有界變差函數，並分別稱

是 f在[ α， b]區間上的全變差、正變差、負變差。 f在[ α， b]上的全變差記為

，而 f在［ α， b］上的正變差、負變差分別記為 pα( b))、 nα( b)。

成立。有界變差函數具有如下一些基本性質。①單調函數 f( x)一定是有界變差函數，且

。區間[ α， b)]上有界變差函數 f( x)可以分解為兩個單調增加函數之差 f( x)= φ( x)- ψ( x)；在這種分解下成立

，而達到等式的分解除瞭相差一個常數外是惟一的，它就是 φ( x)＝ pα( x)， ψ( x)= nα( x)- f( α)。對應的分解 f( x)= pα( x)-( nα( x)- f( α))稱為 x( y)的若爾當分解。由於有界變差函數是兩個單調函數之差，所以單調函數的性質①、②、③中，除去③中的積分不等式要換成

外，其餘都成立。②有界變差函數 f( x)在 x ₀是右（左）連續當且僅當

在 x ₀是右(左)連續的，或者 pα( x)、 nα( x)同時在 x ₀是右(左)連續的。③黑利選取原理：如果 { f _λ( x)}是一族有界變差函數，且{ f _λ( α)}和

是有界集，那麼從函數族{ f _λ( x)}中必可選出一列函數

在[ α， b)]上處處收斂於一個有界變差函數。

　　絕對連續函數　也稱全連續函數。在計算[α，b]上函數f(x)的黎曼積分時，牛頓-萊佈尼茨公式

是非常有效的工具之一。這個公式通常要在

是[ α， b]上連續函數的條件下才能運用。有例子說明，一個連續函數 F( x)在[ α， b]上的導函數即使是有界函數，也不一定是可積的。當黎曼積分換成勒貝格積分時，使牛頓-萊佈尼茨公式成立的充分必要條件是：對任何 ε>0，總有 δ>0，使得對於任何有限個互不相交的區間( αυ， bυ)( v=1，2，…， n)，隻要