一致分佈

　　研究實數的分數部分在區間U₁=[0，1)中的分佈問題。一致分佈理論的發展則開始於H.外爾1916年關於一致分佈理論的著名研究。一致分佈除自身的發展外，在解析數論、概率論和近似分析中都有重要的應用。例如，關於外爾和估計的研究是解析數論與堆壘數論中的核心。

　　命x_j(i=1，2，…)為U₁中的一個點集。對於任意正整數n及任意實數r∈U₁，命N_n(r)表示n個點x_j(1≤i≤n)落入區間[0，r)的點的個數。如果

　　 　　　　

，

則稱點集 x _j( i=1，2，…)在 U ₁中一致分佈。

　　外爾給出瞭判斷一致分佈的重要法則，即所謂外爾判別法：點集x_j(i=1，2，…)在U₁中一致分佈的充分必要條件為，對於任一U₁中的黎曼可積函數f(x)，皆有

。

應用這一法則十分困難，因為需對所有黎曼可積函數進行研究才能證明點集的一致分佈性，於是導致外爾在黎曼可積函數的集合中，選出一個特殊的序列

，

其線性包給出每一黎曼可積函數。從而他證明瞭下面更精密的判別法：數列 x _j( i=1，2，…)在 U ₁中一致分佈的充分必要條件為，對於任意整數 _h≠0，常有

。

例如，對於任何實無理數α，數列 nα( n=1，2，…)對模1是一致分佈，即它們的分數部分｛ nα｝( n=1，2，…)在 U ₁中一致分佈。又如，若多項式 f( x)的次數大於或等於1，其系數為實數且至少有一個系數為無理數，則數列 f( x)( x=1，2，…)對模1是一致分佈。

　　命

，

D( n)稱為點列 x _j(1≤ i≤ n)的偏差。因此，若點集 x _j( i=1，2，…)在 U ₁中一致分佈，則 或 D( n)= O(1)。偏差是用來刻畫一致分佈點集的分佈誤差的。關於偏差的重要結果如下：

　　對於U₁中任意n個數x_j(1≤i≤n)及任意正整數m皆有

。這基本上是 P.愛爾特希和P.圖蘭得到的。

　　對於U₁中任意n個點皆有

，此處с為一個正的絕對常數。這是K.F.羅特得到的。

　　一致分佈的定義可以推廣到s維歐幾裡得空間，此處s≥2。命U_s表示s維單位立方體，即適合0≤x_j≤1，1≤i≤s的全體點x=(x₁，x₂，…，x_s)。命p(h)=(x₁(h)，x₂(h)，…，x_s(h))(h=1，2，…)為U_s中的點集。對於任意r=(r₁，r₂，…，r_s)∈U_s，命N_n(r)表示適合下面條件的p(h)(1≤h≤n)的個數0≤x_j(h)＜r_j，1≤i≤s，則這n個點的偏差定義為

，

此處| r|= r ₁ r ₂… r _s。若 D( n)= O(1)，則稱點集 p( h)( h=1，2，…)在 U _s中一致分佈。

　　外爾判別法及關於偏差的結果，在s維空間都有相應的推廣。

　　一致分佈的定義及外爾判別法還可以推廣到緊致空間與拓撲群。

　　一致分佈理論中有不少待解決的問題。例如數列e^x(x=1，2，…)是否對模1為一致分佈，就是未解決的著名問題。

　　

參考書目

　華羅庚著：《指數和的估計及其在數論中的應用》，科學出版社，北京，1963。

　L.Kuipers and H.Niederreiter，Uniform Distribution of Sequences，John Wiley &Sons，NewYork，1974.