一類特殊的隨機過程，起源於對公平賭博過程的數學描述。martingale一詞的原義之一，是表示一種賭輸一局後加倍下註的策略，此處則是借用這個詞的另一譯義“鞅”(馬頷韁的古稱)作為這類隨機過程的名稱。設T是實數軸R的一個子集，x＝{x(t)，tt∈T}是概率空間(Ω，F，p)上的隨機過程，E|x(t)|＜∞，又設{Ft，t∈T}是一族隨t增大的F的子σ域（見概率），而且x(t)是Ft可測的（即對任何實數x，事件{x(t)≤x}∈Ft），Ft可以理解為到時刻t為止通過觀測可能獲得的全部信息。若對任何s，t∈T，s＜t，x(t)關於Fs的條件期望就等於x(s)，即E(x(t)｜Fs=x(s)，則稱x為(Ft)鞅，或簡稱為鞅。如果形象地把x(t)看作一場賭博中某個局中人在時刻t的本金，Fs看作他到時刻s為止積累起來的經驗，那麼鞅的性質就是表明，不論他在時刻s以後的賭博中如何利用已得的經驗Fs，他所能期望於未來時刻t的本金仍然隻能是x(s)，這正是“公平性”的體現。x的指標集T通常取作非負整數集N={0，1，2，…}，或正實半軸R+=[0，∞)，前者稱為離散時間鞅，後者稱為連續時間鞅。近年來，T為一般半序空間的鞅論也有瞭較大的進展。均值為零的獨立隨機變量序列的部分和，佈朗運動，均值為零的獨立增量過程（例如泊松過程減去其均值函數），都是鞅的典型例子。
按照最小均方誤差的準則，對於一個方差有限的隨機變量ξ，如果已經觀測到Fs，ξ的最佳估計就是它關於Fs的條件期望E(ξ｜Fs)。因此，對於一個方差有限的鞅，“現在狀態”x(s)本身就是對“未來狀態”x(t)的最佳預測。它的這一特點，對鞅論廣泛應用於現代估計理論，特別是非線性估計理論，起著重要的作用。
P.萊維等人早在1935年就發表瞭一些孕育著鞅論的工作。1939年，J.維萊首次采用瞭鞅這個名稱。但對鞅進行系統研究並使之成為隨機過程論的一個重要分支的，則應歸功於J.L.杜佈。鞅論的一些基本定理和方法已經日益成為各類隨機過程研究的有力工具。
上鞅與下鞅 如果在上述鞅的定義中分別用不等式E(x(t)｜Fs≤x(s)，E(x(t)｜Fs≥x(s)來代替等式（其中s＜t），那麼滿足前一性質的x稱為上鞅，滿足後一性質的x稱為下鞅。它們都是描述有偏向、不公平的賭博過程的，上鞅是不利於局中人的模型，而下鞅性則表示有利於局中人。
停止定理 有時，不僅需在固定時刻t∈T，而且還要在另一隨機現象發生的時刻τ來考慮過程x。這另一隨機現象在時刻t以前發生這件事必須是到t為止能夠觀測到的事件，這就意味著{τ≤t}∈Fi，因此τ是一個停時(見隨機過程)。用Fτ表示到τ為止通過觀測所能瞭解的全部事件構成的子
域，這種事件
B應具有性質：對任何
t∈
T，
B∩{τ≤
t}∈
F
t。著名的杜佈停止定理指出：如果
x是(
F
t)鞅，那麼對於有先後次序的一對有界停時
λ≤τ，
x(τ)關於
F
λ的條件期望就是
x(
λ)，即
上鞅和下鞅也有相應的結果，如對下鞅有E(
x(τ)｜
F
*lambda;)≥
x(
λ)。
收斂定理 對離散時間鞅{xn，n∈N}，如果它具有一致可積性，即對概率充分小的事件B，xn在B上的積分
可以對
n一致地任意小，而且{E｜
x
n｜，
n∈
N}有界，那麼當
n趨於∞時，
x
n以概率1收斂於一個可積的隨機變量
x
∞。這時由於E(
x
∞|
F
τ)=
x
τ對一切停時τ成立，從而停止定理中關於停時
λ、τ有界性的條件可以取消。
對連續時間鞅，同樣的事實也成立。進一步，隻要在概率為零的事件上適當改變隨機變量x(t)的值，就可以使得鞅x在每一時刻t處的左、右極限都以概率1存在。通常還假定{Ft，t∈R+}是右連續的，即
，這時可使鞅具有右連續的樣本函數。對上鞅和下鞅，若均值函數
E
x(
t)右連續，也有類似的結果。
局部鞅 鞅X在任一停時 τ處停止得到的隨機過程
還是鞅，其中
。
有些隨機過程
x，雖然它本身未必是鞅，但可以使它在適當停時處停止所得到的隨機過程成為鞅。如果能夠找到上升趨於∞的停時序列{τ
n，
n∈
N}使得
x
都是鞅，就稱
x為局部鞅。這是鞅的一種重要推廣。
上鞅分解定理 1953年，杜佈就時間離散的情形證明瞭每一上鞅{xn，n∈N}都可以表成一個鞅{Mn，n∈N}和一個適應增過程{An，n∈N}之差xn=Mn-An，這裡“適應”是指An為Fn可測。“增”則指對任何一對正整數n≤m，An≤Am。由於這一結果簡明有用，他同時還提出瞭對時間連續的情形是否有相應結果的問題。1962～1963年，P.A.邁耶解決瞭杜佈提出的上述問題，即著名的杜佈-邁耶上鞅分解定理：右連續上鞅x={x(t)，t∈R+}可表示成一個右連續的一致可積鞅M和一個適應的可積增過程A之差x=M-A，其充分必要條件是隨機變量族｛x(τ)，τ取遍一切有界停時｝一致可積。這裡，增過程A“可積”是指{EA(t)，t∈R+}有界。滿足“{x(τ)}一致可積”這一條件的上鞅也稱為“類(D)上鞅”。
如果進一步要求增過程A＝{A(t)，t∈R+}是可料的，而且初值A(0)≡0，則類(D)上鞅的分解x=M-A還是惟一的。
半鞅 從能夠進行隨機微積分運算和求解隨機微分方程這個角度來看，除瞭鞅以外，還有一類樣本函數在任一有限區間上為有界變差的隨機過程（它可以表為兩個增過程之差）。半鞅就是把這兩類過程結合在一起所形成的一類十分廣泛而又能夠對之進行隨機積分等運算的隨機過程，即把半鞅定義為一個局部鞅M和一個適應的右連續有界變差過程A之和：x={x(t)=x(0)+M(t)+A(t)，t∈R+}。由杜佈-邁耶上鞅分解定理可以證明，上鞅和下鞅都是半鞅。