序域

　　一種具有關係“>”的域F，其中正元素集{x∈F|x＞0}在加法和乘法下封閉。常見的實數域就是一種序域，它除瞭具有域的結構外，還具有序結構，即實數的正負以及它們與代數運算的關係。

　　序域和形式實域　如果對一個域域F的元素能規定一種性質（稱為“正性質”，記作>0）使之滿足以下兩個條件：

　　① 對於F的每個元素α，必有而且僅有α=0，α＞0，-α＞0之一成立；

　　② 若α＞0，b＞0，則有α+b＞0和αb＞0成立，那麼F就被稱為序域。常常以(F，>)表示由F以及“正性質”所確定的序域。(F，>)中滿足α＞0的元素α，稱為(F，>)的正元素。對於(F，>)中任意二元素α、b，若有α-b＞0，則規定α＞b。對於同一個域，可以規定不同的“正性質”，從而得出不同的序域。下面有例子說明這一情形。

　　所謂形式實域，是指一個域F，在其中不存在形如

的等式，這裡1是 F的乘法單位元素， α _i都取自 F，即－1在 F中不是平方和。因此，序域的特征隻能是0，同時它又是一個形式實域。反之，對於形式實域至少可以規定一個“正性質”使其成為序域。所以，域 F成為序域的充分必要條件是 F為形式實域。

　　阿基米德序域　具有阿基米德“正性質”的域，稱之為阿基米德序域。所謂阿基米德“正性質”即設α是序域(F，>)的任何一個正元素，若對於(F，>)的每個正元素b，總能選擇適當的自然數n（與b有關），使得nα＞b成立。不滿足這個要求的“正性質”，稱為非阿基米德“正性質”。具有非阿基米德“正性質”的域，稱為非阿基米德序域。依照這個分類，有理數域、實數域和實代數數域，按通常的大小關系作為“正性質”，它們都是序域；按阿基米德“正性質”，它們又都是阿基米德序域。實數域的子域也是阿基米德序域。反過來還可以證明，任何一個阿基米德序域都保序同構於實數域的一個子域。

　　設Q是有理數域，t是Q上的一個超越元。作純超越擴張Q(t)，並對它的“正性質”規定如下：對於Q中的數，“正性質”就是通常的大小關系；令t＞0，對於每一正數α，都有α＞t。這個規定可以延展到Q(t)的任何二元素之間，使得滿足條件②，於是得到一個序域(Q(t)，>)。因為無論取什麼自然數n都得不到nt＞α，所以(Q(t)，>)是一個非阿基米德序域。

　　但是，還可以對Q(t)規定另一個“正性質”：對Q中的數，規定如前；而令t取超越數π的大小。這個“正性質”記作′>0，於是(Q(t)，′>)就是一個阿基米德序域。

　　實閉域　若F是個形式實域，而F的任何代數擴張都不再是形式實域，則F稱為實閉域。從任何一個形式實域F出發，先作出它的代數閉包Ω，使用佐恩引理，很容易知道在Ω中存在至少一個實閉域。它們都是F的擴張，所以又可稱作F在Ω內的實閉擴張，一般來說，形式實域在它的代數閉包內的實閉擴張不是惟一的。

　　實數域和實代數數域都是實閉域。使實閉域成為序域的“正性質”是惟一的，但是具有惟一“正性質”的形式實域不一定都是實閉域，有理數域就是一例。對於實閉域可以作出許多刻畫，其中之一是E.阿廷和O.施賴埃爾給出的著名定理：設F不是代數閉域。F成為實閉域的充分必要條件是，F的代數閉包Ω為F的有限擴張。

　　實閉域具有許多重要的性質，其中特別重要的一條是A.塔爾斯基的元數學原則，即代數上任何一條初等命題，如果在某一實閉域上成立，那麼在其他實閉域上也同樣成立。

　　序域和形式實域的理論，最初是由阿廷和施賴埃爾於1926年建立的。在這一理論的基礎上，阿廷成功地解答瞭希爾伯特第17問題。

　　

參考書目

　A.Prestel，Lectures on ForMally Real Fields，Lect.Notes in Math.1093，2nd ed.，Springer-Verlag，Berlin，1984.

　T.V.Lam，The Theory of Ordered Fields，in Ring Theory &Algebra，Proceedings of AlgebraConference at Univ.OklahoMa，111，pp.1～152，1980.