辛流形

　　具有某種特殊結構的微分流形，這種結構稱為辛結構。設M為一微分流形，又在M上具有一個二次非退化的閉外微分形式σ，則稱σ是M上的一個辛結構，又稱M為具辛結構σ的辛流形。微分流形的辛結構聯繫於向量空間的辛結構。設V是m維向量空間，在V上定義瞭一個反對稱、非退化的雙線性形式σ，即σ滿足：①反對稱性，σ(α，β)=-σ(β，α)，對任意α，β∈V成立；②非退化，若對任意β∈V，有σ(α，β)=0，必有α=0，則稱σ為向量空間V上的一個辛結構，又稱V為具辛結構σ的辛向量空間。對於具辛結構σ的微分流形M，在每一點x∈M，將σ(x)視為T_xM上的雙線性形式，即得出向量空間T_xM上的辛結構。具辛結構的向量空間V或具辛結構的微分流形M都必須是偶數維的。

　　設M是微分流形，T^*M是它的餘切叢，又在T^*M上定義一個一次微分形式α，使當T^*M的局部坐標取為(x₁，x₂，…，x_n，ξ₁，ξ₂，…，ξ_n)，α 的局部坐標表為

α的外微分dα就是 T ^* M上一個二次非退化閉外形式，其局部坐標表示為 dα可作為 T ^* M的辛結構，稱它為自然辛結構。 T ^* M在這種辛結構下成為一個辛流形。這是一個最常見的辛流形。可以證明，若兩個微分流形 M， N之間有微分同胚τ： M→ N，由τ誘導出的餘切叢之間的映射τ ^*： T ^* M→ T ^* N就是這兩個辛流形之間保持自然辛結構的一個變換，稱為典則變換。

　　辛結構和典則變換的概念起源於分析力學，近年來，關於辛流形及其各種子流形的性質的研究在其他數學分支中已有不少應用。例如，在近代偏微分方程理論中，往往在餘切叢上對方程及其解進行分析，這時，典則變換常成為將問題化簡的一種工具。辛流形的概念與方法還在物理問題的量子化中有許多應用。