又稱線性空間。在解析幾何學裏引入向量概念後，使許多問題的處理變得更為簡潔和清晰，在此基礎上的進一步抽象化，形成瞭與域相聯繫的向量空間概念。向量空間是線性代數的中心內容和基本概念之一。它的理論和方法在科學技術的各個領域都有廣泛的應用。

　　設V是一個非空集合，F是一個域。在V的元素之間定義瞭所謂加法，即對於<V的任意一對元素u、v，V中有惟一確定的元素與之對應，這個元素稱為u與v的和，記作u+v。在F的元素與V的元素之間定義瞭所謂乘法，即對於F的任意元素α與V的任意元素u，V中有惟一確定的元素與之對應，這個元素稱為α與u的積，記作αu。如果所述的加法和乘法滿足以下規則，那麼集合V稱為域F上一個向量空間。

　　加法的四條規則①結合律，即u+(v+w)=(u+v)+w；②交換律，即u+v=v+u；③在V中存在一個“零元素”，記作0，對於V的任意元素u都有0+u=u；④對於V的每一個元素u，在V中存在負元素－u，使得(-u)+u=0。

　　乘法的兩條規則　⑤結合律，即(αb)u=α(bu)；⑥u是V中的任意元素，1是F的單位元素，1u=u。

　　加法和乘法的兩條規則 ⑦α(u+v)=αu+αv;⑧(α+b)u=αu+bu，以上各式中的u、v、w是V的任意元素，α、b是F的任意元素。

　　域F上向量空間V的元素，稱為向量。V中的零元素，稱為零向量。V的元素u的負元素-u，稱為u的負向量。域F中的元素，稱為純量。

　　向量空間的加法和乘法表達出向量之間的基本關系。隨著所考慮的對象不同，這兩種運算的定義也不同。例如，令R是實數域，R3是一切三元實數組所成的集合，即

，加法的定義是

，乘法的定義是 ，這裡 都是 R 3中元素， α是 R中元素。於是 R 3是實數域上一個向量空間。設 F是一個域， n是任意取定的一個正整數，

定義加法為 x+ y=( x 1+ y 1， x 2+ y 2，…， x n+ y n)，定義乘法為 α x＝( α x 1， α x 2，…， α x n)，這裡 x＝( x 1， x 2，…， x n)， y＝( y 1， y 2，…， y n)都是 F n中元素， α是 F的元素，則 F n是域 F上一個向量空間。 F n是 R 3的推廣。在某一閉區間上連續的實函數全體所成的集合，對於函數的加法和實數與函數的乘法，是實數域上一個向量空間。次數不超過某一給定的非負整數 n的復系數多項式的全體與零多項式所成的集合 p，對於多項式的加法和復數與多項式的乘法，是復數域上一個向量空間。

　　子空間　如果域F上一個向量空間V的非空子集W，對V的加法和乘法也構成F上一個向量空間，那麼W稱為V的一個線性子空間，簡稱子空間。如果V的任一向量v可惟一的表為其子空間Wi的向量ui(i=1，2，…，n)的和，即v=u1+u2+…+un，那麼V稱為其子空間W1，W2，…，Wn的直和，記為

V的一個非空子集是 V的子空間的充分必要條件為：對於 V的任意向量 u、 v以及 F的任意純量 α、 b，有 α u+ b v在 W中。例如，向量空間 V本身以及由一個零向量所成的集合{0}，都是 V的子空間，稱為 V的平凡子空間。向量空間 F n的子集 W＝{( x 1，…， x n -1，0)| x j∈ F，1≤ i≤ n-1}，是 F n的一個子空間。系數在域 F中的 n元齊次線性方程組的所有的解，是 F n的一個子空間，並稱為所給齊次線性方程組的解空間。

　　基、坐標和維數　設u1，u2，…，un是域F上一個向量空間V的向量，α1，α2，…，αn是域F的元素。表示式α1u1+α2u2+…+αnun，稱為u1，u2，…，un的線性組合。如果存在F中不全為零的元素α1，α2，…，αn，使得線性組合

，那麼 u 1， u 2，…， u n稱為線性相關。在相反情形，即 α 1 u 1＋ α 2 u 2＋…＋ α n u n僅當 時才等於零向量，則稱 u 1， u 2，…， u n線性無關。如果向量空間 V的向量組 u 1， u 2，…， u n滿足條件：① u 1， u 2，…， u n線性無關；② V的每一個向量都可以表為 u 1， u 2，…， u n的線性組合，那麼向量組 u 1， u 2，…， u n稱為 V在 F上的一個基，簡稱 V的一個基。設 x是 V的任意一個向量， u 1， u 2，…， u n是 V的一個基，於是由基的定義可知， x= x 1 u 1+ x 2 u 2+…+ x n u n，其中 x 1， x 2， x n是 F的元素，稱為向量 x關於基 u 1， u 2，…， u n的坐標。對於取定的一個基， V中向量 x的坐標是惟一確定的。

　　一個向量空間如果有基，那麼不一定隻有一個基，但是V的任意兩個基所含向量的個數是相同的。一個向量空間V的基所含向量的個數，稱為V的維數。隻含一個零向量的向量空間的維數，約定為零。如果對於每一個自然數n，V中都存在n個線性無關的向量，那麼V稱為無限維的。例如，向量空間R3是三維的，e1=(1，0，0)，e2=(0，1，0)，e3=(0，0，1)是R3的一個基。向量空間Fn是n維的;連續函數構成的向量空間是無限維的；向量空間p是n+1維的。

　　向量空間的同構　域F上兩個向量空間V和V′，如果存在V到V′的一個雙射φ：V→V′，且滿足條件φ(αu+bv)＝αφ(u)+bφ(v)，其中α、b是F中元素，u、v是V中元素，那麼向量空間V和V′稱為同構的。域F上每一n維向量空間都與向量空間Fn同構。