一種既有大小又有方向的量。又稱為向量。例如在物理學中的速度、加速度、力等等就是這樣的量。捨棄實際含義，就抽象為數學中的概念──向量。
下面限於三維歐氏空間中來討論。
向量的表示法 通常可以用幾何的或代數的方法來表示向量。
向量的幾何表示法 從空間中中任意一點A出發引一半射線l，並在其上另取一點B，則有向線段AB就代表一向量（圖1
），簡記為
，或用
α表示；這向量的大小就是線段
A
B的長，其方向就是半射線
l的方向。向量
α的大小稱為它的模或絕對值，記為
。
一般說來，如果向量
的起點
A換作另一點
A′，終點也換作另一點
B′，使
A
B∥
A′
B′，且它們的指向也相同，又長度
則認為向量
與向量
是相等或相同的向量：
，仍可記為
α。這樣理解的向量有時也稱為自由向量（起點可自由改變）。當然根據實際情況，有時向量的起點不能隨便改變（例如，如果向量
α代表一個力，其起點
A代表力的作用點，這時起點就不能隨意改變），這種向量有時稱為固端向量。這裡一般隻考慮自由向量。
一種特殊情況須加註意，就是B=A的情況，這時向量
稱為零向量，記為
0。零向量的模為0，而且無確定方向。
按照前面自由向量的觀點，規定兩向量α，b相等的充分必要條件是：｜α｜=｜b｜，且(如果它們不是零向量)α，b的方向（包括指向）相同。
如果向量α，b（都≠0）所在直線平行或重合，則稱α與b平行，記作α∥b。向量－α指的是其模與α的模相等、且與α平行但指向相反的向量。如果向量α，b所在直線互相垂直，則稱α與b互相垂直或正交，記作α⊥b。
此外還規定，任何向量α都與零向量0既平行又垂直。
根據定義，任何向量α與它自身平行。
如果向量α的模等於1(｜α｜=1)，則稱α為一單位向量。
向量的代數表示法 向量的幾何表示法既直觀又簡單。但作為一種數學量，向量要參加運算，這種表示法有時就極不方便。下面向量的代數表示法就可克服這一困難。
在空間取定一右手坐標系（當然也可取左手坐標系，但為確定起見，不取左手系），如圖2
。已給一向量
α。把它的起點取在坐標原點
O處，其終點為
。把有向線段
O
p投影到三坐標軸
x，
y，
z上，分別得投影
O
p
1，
O
p
2，
O
p
3，它們的有向長
x，
y，
z分別稱為
α在
x軸、
y軸、
z軸上的三個分量，而把
α表示為
(1)
這便是向量
α的代數表示法。(
x，
y，
z)實際上就是
p點在
O
x
y
z坐標系中的坐標。反過來，給定空間一點
p(
x，
y，
z)，由(1)式就可定義一向量
α，使其三個分量依次為
x，
y，
z。
零向量0的三個分量都是0：0={0，0，0}。
由定義還可知，如果向量α以(1)式給出，則
如果向量α的起點取在Q1{x1，y1，z1}點，而終點為Q2{x2，y2，z2}，則其代數表示為
(2)
當坐標系作平移時，向量的代數表示不變。當坐標系在討論過程中始終固定不變時，則也可把(1)式，即三個有順序的數x，y，z作為向量的定義。
向量的代數運算 向量作為一種數學量可以進行某些代數運算，如加法、減法、乘法等。這些運算方法都有實際背景，因此在實際上是有意義的，應用時是有效的。
向量的數乘 向量α與一（實）數с的乘法規定如下：定義сα為一向量，其模
且與
α平行；當с>0時，其指向與
α的相同；當с＜0時，它就與
α的相反（圖3）。
當然с=0時，0
α=0。特別，易見
如果用代數表示法，則若α={x，y，z}，便有
向量的數乘是符合結合律的，即若α為一向量，b，с為任二數，則
向量的加法 已給二向量α，b，來定義α+b。用幾何表示法，將
取在同一起點
O(圖4
)，然後以
O
A，
O
B為鄰邊作一平行四邊形，得另一頂點
C(圖4)，則向量
c=
OC就定義為
α+
b。所以向量的加法規則也稱作平行四邊形規則。又因
所以
α+
b也可這樣來理解：先作出
然後以
A為起點，作
則三角形
O
A
C的第三條邊
O
C就形成一向量
因此，向量的加法規則有時也稱為三角形規則。
如果用代數表示法，設
則有
由向量加法定義，有以下規律：
向量的減法 與通常算術中一樣，把向量的減法作為加法的逆運算來定義。即已給二向量α，b，定義α-b=c為一向量，使得b+c=α。
在幾何上，如果
，則
(圖
5
)。在代數上，如
則
由此立刻知道，
α-
b是惟一的。而且容易看出，
總之，對於向量的加減法和數乘來說，可以如同數字的算術運算那樣進行。
向量與向量的乘法情況稍為復雜一點。
向量的內積 設有二向量α，b。先假定它們都不是零向量。記它們之間(即它們所在直線之間)的夾角為θ，則定義
為
α，
b的內積，或稱為點積，也簡記為
α
b。它不再是向量，而是一個數，所以也稱為數積。如果
α，
b中隻要有一個是零向量，則定義
α·
b=0。
如果用代數方法，設
則
由定義還可看出α·α(也記為α2)=｜α｜2=α2（α仍表示α的模）。
向量的內積遵從以下一些運算規則：
此外，還可看出，兩向量
α，
b互相垂直（正交）的充分必要條件為
α·
b=0（不論
α，
b是不是零向量）。
向量的外積 這是向量的另一種乘法。仍設α，b為二向量。也暫先假定它們都不是零向量，且不平行。定義α×b=c為一向量，其模為
|c|=|α×b|=|α||b||sinθ|， (3)式中θ仍為α，b的夾角，其方向要求與α，b都垂直，而其指向如下法規定：使α，b，c的指向依次恰如Oxyz坐標系中x軸，y軸，z軸的正向那樣構成一右手系（圖6
）。｜
α×
b｜在幾何上正好是以
α，
b為兩鄰邊構成的平行四邊形的面積。如果
α∥
b，則因
θ=0或π，故定義
α×
b=
0；因此，如果
α，
b中至少有一個是零向量，則也有
α×
b=
0。
α×
b稱為
α，
b的外積或叉積。因為它仍是個向量，所以也稱為向量積。
用代數表示法時，設
則
α×b={α2b3-α3b2，α3b1-α1b3，α1b2-α2b1}。
註意，向量外積不服從交換律，而服從反交換律：
它也不服從結合律，即一般
但若註意瞭次序不能改變，則這一乘法卻服從分配律：
兩向量α，b平行的充分必要條件是α×b=0。值得註意，對於任意向量α，恒有α×α=0。
向量的外積與內積間有下一重要公式：
向量的混合積 下面這一把向量的外積和內積結合在一起的乘積也是很有用的：(α×b)·c，稱為α，b，c的混合積，也記成(α，b，c)。它是一個數而不是向量。
如果
則可以用行列式來表示混合積：
由此可見
在幾何上，如果把
α，
b，
c的起點都放在同一點
O，則(
α×
b)·
c的模表示由這三向量為鄰邊構成的平行六面體的體積（圖7
）。
向量的分解 正如力、速度等可分解為分力、分速度等等，向量也可分解為分向量，即如果α=b+c，則稱α被分解為兩分向量b，c。
常用的分解為：在取定坐標系後，分別記沿x軸、y軸、z軸正向的單位向量為i，j，k(圖8
)，即
i＝{1，0，0}，
j＝{0，1，0}，＝{0，0，1}，則任何向量
α={
x，
y，
z}可分解為
註意到
i，
j，互相垂直，且
則也可利用上述分解式來進行向量計算，完全可按通常代數運算來進行。例如
有時隻考慮位於同一平面中的向量，這時向量還可用復數來表示（見
復數）。
向量概念還可推廣到維數更高的空間或更為抽象的空間中去。
還可考慮向量（依賴於自變量時）的微分、積分等等分析運算（見向量分析）。