實數-百科詞條

　　包括有理數（零與正負整數，正負分數）和無理數。人們在長期實踐中理解瞭有理數的四則運算及次序關係，不過對它們的公理化描述直到19世紀末和20世紀初才完成（見數系）。用現代語言來描述，可以說，有理數構成有序的阿基米德域Q。

　　首先，Q是一個域，即在其中可進行四則運算（0作除數除外），而且對於這些運算，以下的運算律成立（α，b，с等都表示任意的有理數）：

　　① 加法的交換律　α+b=b)+α；

　　② 加法的結合律　α+b+с=(α+b)+с；

　　③ 存在數0，使0+α=α+0=α；

　　④ 對任意有理數α，存在一個加法逆元，記作-α，使α+(-α)=(-α)+α=0；

　　⑤ 乘法的交換律和結合律　αb)=bα，α(b)с)=(αb)с；

　　⑥ 分配律　α(b+с)=αb+αс；

　　⑦ 存在乘法的單位元1≠0，使得對任意有理數α₁1α=α1=α；

　　⑧ 對於不為0的有理數α，存在乘法逆元α^-1，使αα^-1=α^-1α=1。

　　其次，Q是有序域，即存在一個次序關系≤，使對於一切有理數α和b)，α≤b)與b≤α中至少有一個成立，而且對一切α，b)，с∈Q：

　　① 由α≤b)，b≤с可得α≤с；

　　② 由α≤b)，b≤α可得α=b)；

　　③ 由α≤b可得α+с≤b)+с；

　　④ 由0≤α，0≤b可得0≤αb。

　　此外，對每個α∈Q，必存在一數記作|α|(│α│≥0)，使對任何α≥0，│α│=α；對任何α＜0，|α|=-α，│α│稱為α的絕對值。

　　再有，Q是阿基米德域，即對有理數α和b，α≥0，b＞0，必可找到一個自然數n，使nb＞α。由此可知，不存在最大的正有理數；因為對任一正有理數α，取b=1，必存在自然數n使n＝n·1>α。也不存在最小的正有理數，因為對任意0＜α有

，從而一定有自然數 n使

，亦即

。

　　有理數域雖然有如上豐富的性質，但用它不足以刻畫一切幾何量，也就是說，如果選定一個線段以其長作為單位，則並非一切線段的長都是有理數。早在古希臘時代就發現，正方形的對角線與邊長之比

不是有理數。因此直線上之點的集合不能與 Q一一對應。這就使解析幾何以至整個數學分析的基礎產生瞭問題。這個情況可以用以下幾個命題之一表述。

　　①有理數的上（下）有界集不一定以某個有理數為上（下）確界。A⊂Q的上確界是這樣一個數α：它是A的一個上界，即α≥A中一切數，但任取α′＜α，α′必非上界，即A中至少有一個元α，使α＞α′。

　　②單調有界的有理數序列不一定以某個有理數為極限。

　　③有理數的柯西序列（即一個序列{α_n}α_n∈Q，而且對任意的有理數ε>0，必存在N＝N（ε），當m，n＞N時，｜α_m-α_n｜＜ε不一定收斂於一個有理數。

　　這些情況可以概括為Q不是連續統。這一事實對數系的應用帶來很大不便。為瞭克服這個困難，有必要系統地對有理數系Q補充新數即無理數，使得擴充後的新的數系即實數系R沒有以上的問題，但是仍為有序的阿基米德域。這個工作在19世紀中葉以幾種不同的方式完成瞭。

　　一種方式是由J.W.R.戴德金提出的。

　　戴德金實數理論　戴德金在其《連續性與無理數》(1872)一文中生動地描繪瞭當時微積分面臨的困難，並且指出，擺脫困境的出路在於使幾何算術化。他的出發點是Q的次序性。例如

作為一個數其特征是大於一切非正有理數及一切適合 α ²＜2的正有理數 α而小於一切適合 α ²＞2的正有理數。其實，每個有理數 α都有類似的性質，它將 Q分為兩個非空的子集：

，

， Q ₁稱為下類， Q ₂稱為上類。這裡可將 α歸入 Q ₁而為其中最大元，也可將 α歸入 Q ₂而為其中最小元。這樣得出的有理數分劃記作 Q ₁| Q ₂，它是由 α生成的。

　　戴德金將此普遍化。他考察瞭有理數集Q的一切分劃，Q₁|Q₂：Q₁，Q₂非空，Q＝Q₁∪Q₂，Q₁∩Q₂=ø，而且Q₁中的一切元均小於Q₂中的一切元。這時可以分為兩種情況。

　　①Q₁有最大元而Q₂無最小元（若Q₂有最小元但Q₁無最大元，則規定將此元移入Q₁），這時就說Q₁|Q₂定義瞭α。反過來，如上所述，每個有理數α也都產生這種類型的有理數分劃。因此，若記這類有理數分劃的集合為

，則

與 Q一一對應，且稱

中的元就“是”有理數。

　　②Q₁中沒有最大元，Q₂中也沒有最小元。記這類分劃之集合為I，稱I中的元定義無理數。

　　不會發生Q₁有最大元α，Q₂也有最小元b)的情況。因為若α=b)，則將與Q₁∩Q₂=ø矛盾，若α＜b)，則將得到

，

從而

Q₁∪Q₂≠Q。

　　實數集即一切有理數分劃之集合

。

　　在這樣定義的實數集合中也可定義四則運算。例如對於兩個實數（也就是有理數集的兩個分劃）

，定義

，這裡

，它也是有理數集的一個分劃，因而也是一個實數。易證 R也適合 Q是一個域的性質。又若 Q ₁⊂ Q ₁ ^′，定義α≤ β，可證 R適合上述 Q是有序域的性質。同樣也可證 R適合 Q是阿基米德域的性質。因此 R也是一個有序的阿基米德域。

　　實數系是有理數系的一個擴張，或者說實數系包含瞭有理數系，同時還包含其他的元，例如

。準確地說， R中包含一個與 Q同構的真子集

( I非空：因為令

，

，則 Q ₁｜ Q ₂是一個實數，但不在

中，即為無理數，它就是

)，所以說 R是 Q的一個擴張。 R還有以下兩個性質：

　　①

在 R中稠密，這裡所謂稠密性即指：對α， β∈ R，而且α＜ β，必有一個 x∈

，使α＜ x＜ β。

　　②R中任一上（下）有界集必有上（下）確界。但這個確界不一定是有理數。

　　實數系是惟一的，即若Q有兩個擴張R與R₁同為有序阿基米德域且都適合①，②，則R與R₁同構，即實質上相同。

　　康托爾實數理論　G.（F.P.）康托爾與H.C.R.梅雷從完備性著眼提出定義實數的另一種作法。例如

可以用有理數序列{1，1.4，1.41，1.414，…}去逼近。因為這個序列是有理數的柯西序列。所以想到是否可以用有理數的柯西序列來定義實數。但

還可以用另外的有理數柯西序列如{2，1.5，1.42，1.415，…}來定義。因此必須在有理數柯西序列的集合中引入等價關系：有理數柯西序列{ α _n}與{ αń}當

時稱為等價的，記作{ α _n}～{ αń}。每一個有理數柯西序列的這樣的等價類定義為一個實數。這樣定義的實數集記作 R ₁。 Q中所有的 α均可用一個特殊的柯西序列（常值序列）{ α， α，…}來逼近。包含常值序列的等價類（每一個這種等價類隻能含一個常值序列{ α， α，…}）稱為有理數 α，記其集合為

₁;不包含常值序列的等價類稱為無理數，記其集合為 I ₁。顯然

。

　　R₁中也能定義四則運算與次序關系，它與R一樣是有序的阿基米德域，而且適合

　　①R₁有一個與Q同構的稠密的真子集

₁，

　　②R₁中一切柯西序列都有極限在R₁中。

　　R₁在同構意義下也是惟一的。又因為性質②與R的性質②是等價的，即互相蘊涵，所以R與R₁也是同構的，即這兩種作法所得的結果是相同的。

　　實數系的完備性　實數系是否還可以進一步擴張，這是很自然會想到的問題。

　　首先，它可以在引入一個理想元素即方程x²+1=0的根以後而擴張為復數系。但是這時必須放棄次序性，即前述的關於Q是有序域的性質（見復數）。

　　其次，因為R是阿基米德域，所以和Q一樣，在R中不會有最大的正數（即正無窮大）和最小的正數（即正無窮小），但也可以引入正的無窮小這樣的理想元素而得到非標準的模型，但是這時將破壞阿基米德域性質（見非標準分析）。

　　至於在R中再作分劃或再作柯西序列，都不會再得到新的數。R的元與直線上的點可以一一對應，在這個意義下，稱R具有完備性，也因此稱R為連續統。

　　R與Q的性質有很大的區別。Q中有無限多個元，但是Q是一個可數無限集。可以把Q中之元寫成既約分數p/q，q＞0而將正有理數排列成下表。然後按上述的箭頭次序將它們排列起來（遇見重復的即行刪去），此時一切正有理數就寫成瞭一個序列。所以正有理數集合是可數的；整個有理數系Q也是可數的。但是可以證明R是不可數的。這樣在數學史上第一次遇到瞭各種不同的無限，從而就引導G.康托爾提出瞭基數的理論。