普通（數值的）積分在向量值上的推廣。在分析數學的各分支中，因不同的要求，需要種種或是向量值函數的積分或是關於向量值測度的積分。向量值函數的積分有黎曼-斯蒂爾傑斯型積分和勒貝格型積分。
黎曼－斯蒂爾傑斯型積分 常用的一種向量值積分。如果f（t）是定義在［α，
，作和式
其中
令
如果極限
存在，則稱
f關於
g在[
α，
b]上R-S可積，又稱
是
f關於
g的黎曼-斯蒂爾傑斯積分，簡稱R-S積分，記為
。類似地，也可以引入
。向量值R－S積分有許多類似於數值函數的R-S積分的性質。特別，有分部積分公式：如果
中有一個存在，則另一個必存在，且
。
下面幾種向量值積分都屬於勒貝格型的。
博赫納積分 設(x，φ，μ)是全σ有限測度空間（見測度論），φ(x)是定義在x上，取值於巴拿赫空間B的向量值函數。如果存在(x，φ)的有限個互不相交的可測集A1，A2，…，An，使φ在Ai(i=1，2，…，n)上的值恒為向量ei，而
上的值恒為0，則稱
φ是(向量值)簡單函數。如果存在
x上的一列簡單函數 {
φ
n(
x)}，使得‖
φ
n(
x)-
f(
x)‖關於
μ幾乎處處收斂於0，則稱
f(
x)是
x上（取值於
B）的強可測函數。強可測函數
f(
x)的范數‖
f(
x)‖必是
x上的（數值）可測函數。如果
φ是簡單函數並且
μ(
A
i)＜∞，那麼稱
是
φ的博赫納積分，記為
。設
f(
x)是
x上向量值函數，如果存在一個可積的簡單函數列{
φ
n}，使得
，就稱
f是
x上博赫納可積的，並稱
是
f在
x上的博赫納積分，記為
，可以證明：對於博赫納可積函數
f，它的積分值(是向量)不依賴於{
φ
n}的選取;
f在
x上是博赫納可積的，當且僅當
f是強可測的而且‖
f(
x)‖是
x上的數值可積函數。博赫納積分具有一般測度論中積分的性質。
伯克霍夫積分 設(x，φ，μ)是全σ有限測度空間，{Ai}是x的一列互不相交的可測集，
並且
，稱{
A
i}是
x的可列剖分。設
f(
x)是
x上取值於巴拿赫空間
B的向量值函數，Δ={
A
i}是
x的可列剖分，如果
f在每個
A
i上有界，並且
是無條件收斂的，則稱集
的凸閉包是
f(
x)關於Δ的積分值域，記為
J(
f，Δ)。如果對任何
ε＞0，存在可列剖分Δ(
ε)，使集
J(
f，Δ(
ε))的直徑小於
ε，則稱
f在
x上伯克霍夫可積，並稱由一切可列剖分Δ所得的
J(
f，Δ)的交集(隻有一個向量)為
f在
x上的伯克霍夫積分，記為
。這種積分除富比尼定理外，具有通常勒貝格積分所具有的線性、可列可加性、絕對連續性等性質。博赫納可積必然伯克霍夫可積（逆命題並不成立），並且兩個積分相等。
更一般地，還可定義取值於具有某種拓撲結構半群上的積分，當取不同拓撲時，它可包含伯克霍夫積分和下面的積分。
蓋爾范德意義下的弱*積分 設(x，φ，μ)是全σ有限測度空間，f(x)是定義在x上取值於巴拿赫空間B的向量值函數。如果對每個g∈B*(B*是B的共軛空間)，g(f(x))是可測函數，則稱f(x)在x上是弱可測的。在空間B是可分情況下，弱可測和強可測一致。如果對每個
在
x上是可積的，則必存在
f
**∈
B，使得
，稱
f
**是
f(
x)在
X上的蓋爾范德意義下的弱
*積分，記為
。
佩蒂斯積分 或稱弱積分。另一種常用的向量值積分。設(x，φ，μ)是全σ有限測度空間，f(x)是x上取值於巴拿赫空間B的弱可測函數，如果存在b)∈B使得對一切g∈B*成立
，則稱
f在
x上是佩蒂斯可積的，
b)是
f的佩蒂斯積分，記
b)為
。博赫納可積必然佩蒂斯可積，並且積分相等。除去富比尼定理外，勒貝格積分的其他性質對於佩蒂斯積分也成立。
向量值測度和積分 設(x，φ)是可測空間，如果E是定義在φ上取值於巴拿赫空間B的滿足下列條件的向量值集函數：①E(ø)=0（ø是空集）；②可列可加性，對φ中任何一列互不相交的集{Ai}，
則稱
E是φ上向量值測度。例如，如果(
x，φ，
μ)是全
σ有限測度空間，
f是
x上取值於巴拿赫空間
B的博赫納可積函數，對任何
A∈φ，定義
，則
E便是φ上取值於
B的向量值測度。特別，當
B是某個巴拿赫空間（或希爾伯特空間）上的有界線性算子全體按算子范數所成的巴拿赫空間時，就稱
E為φ上的算子值測度（見
譜論、
譜算子）。此外，和數值測度一樣，也可引入一個向量值測度關於另一個數值測度絕對連續的概念。但一般說來沒有拉東-尼科迪姆定理。但如果空間
B或是自反，或是希爾伯特空間，或
B的共軛空間
B
*是可分的，這時就有拉東-尼科迪姆定理。（見
測度論）