集合論基本概念之一，是日常使用的第一、第二等表示次序的數的推廣。序數概念是建立在良序集概念之上的，而良序集又是偏序集、全序集的特殊情形。

　　偏序、全序和良序　次序是二元關係（見映射）的一個非常重要的類型。設R是定義在A上的滿足下列條件的二元關係：①對於一切x<∈A有xRx（自反性）；② 對於一切x，y∈A，由xRy與yRx可得x=y（反對稱性）；③對於一切x，y，z∈A，由xRy與yRz可得xRz（傳遞性），就稱R是定義在A上的偏序，也稱半序。偏序R通常記為≤或

， α≤ b)讀作 α在 b前。集合 A連同其上定義的偏序≤，稱為偏序集，記為〈 A，≤〉。實數集上的通常的大小關系、集合之間的被包含關系、自然數之間的可整除關系都是偏序的例。設≤為 A上的偏序。如果在 A上定義一個關系＜，使得 x＜ y當且僅當 x≤ y且 x≠ y，則關系＜滿足條件：①′對任何 x∈ A， x＜ x不成立，②′由 x＜ y與 y＜ z可得 x＜ z。這時＜稱為嚴格偏序。反之，設＜為嚴格偏序，如果定義 x≤ y當且僅當 x＜ y或 x= y，則≤必為偏序。因此在偏序與嚴格偏序之中隻需討論一種就夠瞭。設〈 A，≤〉為一偏序集，如果 x 0∈ A且在 A中沒有其他 x使 x≤ x 0，則稱 x 0為 A的一個極小元（素）。如果對於一切 x∈ A有 x 0≤ x，則稱 x 0為 A中的最小元（素），正整數集在整除的偏序下1是最小元，但若隻限於大於1的整數，則隻有極小元（每個質數）而無最小元。仿此可定義極大元與最大元。設 x為偏序集〈 A，≤〉的子集，如果存在 α∈ A，使得對於一切 x∈ x，有 α≤ x，則稱 α為 x（關於 A）的一個下界。如果 x的關於 A的一切下界有一最大元 α 0，就稱 α 0為 x（關於 A）的下確界，記為 inf x。仿此可定義上界和上確界，後者記為 sup x。 A上的偏序≤，如果再加上條件④對於一切 x， y∈ A，總有 x≤ y或 y≤ x（至少有一成立），就稱≤為 A上的全序，也稱線序。〈 A，≤〉稱為全序集。顯然，在全序集中 x＜ y， x= y， x＞ y，三者必居其一且僅居其一。實數集及其任何子集在通常的≤關系下是全序集的例。對於全序集〈 A，≤〉如果再加上條件⑤ A的任一非空子集都有最小元，就稱≤為 A上的良序，〈 A，≤〉稱為良序集。按任何順序排起來的有限集，按自然順序的自然數集，將所有奇數排在前面、所有偶數排在後面的自然數集{1，3，5，…，2，4，6，…}都是良序集之例。但整數全體，區間［0，1］，就不是良序集。設＜ A，≤ 1＞，＜ B，≤ 2＞為兩個偏序集，如果存在 A到 B的雙射 φ使得對於一切 x， y∈ A， x≤ 1 y當且僅當 φ( x)≤ 2 φ( y)，便稱兩偏序集為序同構，記為 A≃ B。例如奇數集與偶數集序同構，但是上面列舉的三個良序集沒有兩個是序同構的。

　　序數的定義　序數原來被定義為良序集的序型，而良序集A的序型Ā，作為從A的元素的屬性中抽象出來的結果，是所有與A序同構的一切良序集的共同特征，即Ā定義為{B｜B≃A}。這個定義從形式上看來是十分簡單明瞭的，但在ZFC公理系統中不能證明它構成一個集合。事實上，{B｜B≃A}是一個真類。因此，原來的那個定義是不成功的，必須修正，另走別的途徑。設 α是一個良序集，ξ∈α，稱S(ξ)＝{β∈α|β＜ξ}為在良序集α中由ξ所生成的初始截段。1923、1928年，J.馮·諾伊曼把序數定義為滿足下述條件的良序集α：對於一切ξ∈α，S(ξ)=ξ。例如在集合9={0，1，2，…，8}中取一個元素2，S(2)={0，1}=2，9中任何其他元素也具有這個性質，所以9是一個序數。

　　集A稱為歸納集，如果①ø∈A，②隻要α∈A就有α′＝α∪{α}∈A。歸納集A的存在性是由無限公理保證的。A的一切歸納子集之交N稱為自然數集，它是最小的歸納集。N是良序的，並且其中任一元素n的初始截段S(n)={0，1，2，…，(n-1)}=n，所以N是一個序數，這個序數通常用ω表示。N的每一個元素n都是序數，稱為有限序數。有限序數以屬於每一個歸納集作為特征。其他序數稱為超限序數，ω就是最小的超限序數。1937年R，M.魯賓遜給出瞭序數的另一等價定義，良序集＜α∈>是一個序數，若〈α，∈〉是傳遞集，即隻要x∈α且y∈x就有y∈α，這些定義沒有康托爾原來定義的缺點。

　　序數有三種，第一種是0；第二種是某一序數α的後繼α′=α∪{α}，稱為後繼序數；其他序數屬於第三種，稱為極限序數。對於任何良序集A，必有一個且僅有一個序數α使A與α序同構，此時α稱為A的序數，用Ā =α表示。任何兩個具有相同序數的良序集，必定序同構，因此序數是同構良序集的共同特征，這正是康托爾序數概念的實質。

　　序數的算術　設αξ（ξ＜λ）為一序數列，在集合A=

中規定其任意兩個元素〈 γ， i〉、〈 δ， j〉的次序如下：

　　＜γ，i＞＜＜δ，j＞當且僅當i＜j或者i=j且γ＜δ；則〈A，＜〉構成一個良序集。A的序數可定義為序數列αξ(ξ＜λ)之和，用

表示之。特別地，當 λ=2，α 0=α，α 1= β時， 可簡寫為α+ β；當對於任何ξ＜ λ，α ξ=α時， 可寫成α· λ，稱為兩個序數α， λ的乘積。對於任何序數α、 β、 γ，它們的加、乘運算滿足：①結合律，(α+ β)+ γ=α+( β+ γ)，(α· β)· γ=α·( β· γ)；②左分配律，α·( β+ γ)=α· β+α· γ。但交換律與右分配律對序數的和、積卻並不成立，例如： ω+1> ω=1+ ω; ω·2> ω=2· ω；1· ω+1· ω= ω·2> ω=(1+1) ω。由於全體序數構成一個真類（佈拉利-福爾蒂定理），因此對於任何極限序數 λ，序數列{α ξ|ξ＜ λ}總有上界，且必然存在最小的上界，它就是序數列{α ξ|ξ＜ λ}的上確界 。設α， β為序數，歸納地定義αβ如下：

對於任何序數α、 β、 γ，序數的冪滿足：①同底冪的積， ；②冪的冪， 。序數的冪運算不滿足“積的冪”性質： 。