公理集合論中的一條重要的公理，簡記做AC。它可表述為：如果S是由不空的集合組成的一集合，則存在一個函數f，使得對於S中的每一集合x，都有f(x)∈x成立。換言之，當S是由某些不空集合組成的一集合，問是否存在一種原則（即函數f），使得按照這一原則在S的每一集合x中都能恰好挑選出一個元素。在許多情況下，上述問題的答案是肯定的。但是在一般情況下，是否能肯定呢？當人們肯定回答時，它就稱為選擇公理。

　　19世紀，人們在數學論證中經常使用選擇公理，但尚未深入研究它的不同的表現形式和推論。例如，1890年G.皮亞諾在證明常微分方程解的存在性定理時，陳述瞭選擇公理，並且對它提出瞭懷疑。G.（F.P.）康托爾在研究序數理論時提出，是否每一集合都可良序的問題。1904年E.F.F.策梅洛證明瞭這一定理，即每一集合都是可以良序的。在證明中他用現代術語，嚴格地陳述瞭選擇公理。G.康托爾最早使用選擇公理的等價形式，即關於集合勢的三分法原則：對於任意的集合S1與S2，下述三式

中恰有一個式子成立。其中 i表示集合 S i的勢。1915年F.霍爾托格斯證明瞭集合勢的三分法原則與選擇公理是等價的。自20世紀初以來， B.A.W.羅素、 F.豪斯多夫、K.庫拉托夫斯基等人先後發現和證明瞭，選擇公理與乘積定理、良序定理、極大原理、佐恩引理等成百個數學命題是等價的，並且在數學的許多分支中有著廣泛的應用。這就使選擇公理更加引人註意瞭。比如，連續函數的 ε- δ型與序列型兩種定義，由選擇公理可以證明是等價的；但是沒有選擇公理，它們是不等價的。利用力迫方法可以證明，存在著選擇公理不成立的模型，在其中有一函數 f和一個實數 x 0，使得 f於點 x 0在 ε- δ型意義下是不連續的，在序列型的意義下是連續的即對於任意的序列 ，若 則有 。又如，關於有窮集合的兩種常見的定義：①對於任意集合 S，如果有一自然數 n，使得 S中恰有 n個元素，則稱 S為有窮集合。 S不是有窮集合時，就稱為無窮集合。②對於任一集合 S，如果有 S的一真子集合與 S是一一對應的，則稱 S為 D無窮的;當 S不是 D無窮時，就稱 S是 D有窮的。在有選擇公理時，①與②是等價的；在無選擇公理時，它們是不等價的。利用力迫方法可以證明，存在著一個選擇公理不成立的模型，在其中有一集合 S，按照①它是無窮的，按照②它是 D有窮的。

　　大量的事例說明選擇公理是現代數學的一個基本原則和基本方法，沒有它和它的等價形式，數學的許多分支將是寸步難行的。但是，選擇公理是否合理和正確一直存在著爭議。一些數學傢懷疑、反對它，一些數學傢毫無保留地贊同、應用它。各有各的理由。反對的理由之一是，按照它實數集合是可良序的，但至今人們沒有找到它的良序。反對的理由之二是，1924年S.巴拿赫和A.塔爾斯基使用選擇公理揭示瞭對球體的分解與組合的悖論（把一個球切成有窮個片斷，然後再重新組合，可得到與原球有相同尺寸的兩個球）。這樣，選擇公理就成瞭數學基礎中的一個很突出的問題瞭。

　　60年代以來，J.邁切爾斯基等人提出一條相當基本的數學原理，稱為決定性公理，並在此前提下證明瞭許多有趣的結果。例如：①實數的不空集合的每一可數集族都有一選擇函數；②實數的每一集合都是勒貝格可測的。對於①選擇公理是成立的；但對於②選擇公理是不成立的。因為，使用選擇公理就一定存在勒貝格不可測的集合。不難看出，上述①是選擇公理的一種較弱的形式(對可數集合而言)，而②的否定式是選擇公理的一種較強的形式。有這樣一種可能，就是選擇公理的一般形式不成立，而它的某些較弱的形式是成立的。P.貝爾奈斯、塔爾斯基、庫拉托夫斯基、P.萊維、J.D.哈爾佩恩和T.J.傑希等人系統地研究瞭選擇公理的較弱的形式，並且證明瞭它們可以由選擇公理推導出來，但它們不能推導出選擇公理；同時也揭示瞭這些較弱的形式在各自的應用中都是不可缺少的。選擇公理有如下一些弱的形式。

　　① 次序原則（簡記做 OP）對於每一集合都是能夠線序的。

　　② 對於n個元素集合族的選擇（簡記做Cn）對於任一具有n個元素的集合族S(即若x∈S，則x恰有n個元素)，都有一函數f，使得若x∈S，則f(x)∈x。

　　③ 對於有窮集合族的選擇（簡記做ACF）對於任一有窮的集合族S（即若x∈S，則x為一有窮集合），都有一函數f，使得若x∈S，則f(x)∈x。

　　④ 序擴充原則（簡記做 OEP）任一集合S的每一偏序都能夠擴充到S的一線序（或稱全序）。

　　⑤ 挑選原則（簡記做SP）對於每一集合族S（它的任一元至少有兩個元素）都存在一函數f，使得對於S中任一元x，都有f(x)≠ø且f(x)是x的一真子集合。

　　⑥ACW　對於任一良序集合，選擇公理成立。

　　⑦ 素理想定理（簡記做PIT）每一佈爾代數都有一素理想。

　　上述①～⑦都是AC的推論。用A→B表示A蘊涵B，即在無選擇公理的ZF中，有ZF├A→B。用A

B表示 A不蘊涵 B，即ZF├ A B。已有下述結果：

　　對於選擇公理的研究說明，確立數學公理是十分嚴肅的科學研究工作，而絕不是能被少數數學傢隨心所欲的虛構。

　　

參考書目

　H.Rubin and J.E.Rubin，Equivalents of the Axiom of Choice，North-Holland，Amsterdam，1963.

　T.J.Tech，The Axiom of Choice，North-Holland Ams-terdam，1973.