亞純函數

　　在域G內除瞭極點之外為全純的函數稱為亞純函數。一般討論整個複平面C和擴充的複平面ĉ=C∪{∞}的情形。任一有理函數是整個擴充的複平面ĉ上的亞純函數，它能表為兩個多項式的商，並且隻有有限多個極點；反之，任一在 ĉ上亞純的函數一定是一有理函數。兩個無公共零點的整函數g(z)和g₁(z)之商g(z)/g₁(z)是C上的亞純函數，它的極點位置和重數與g₁(z)的零點相同，例如，tanz=sinz/cosz為一亞純函數。反之，若以亞純函數f(z)的極點作外爾斯特拉斯典型乘積g₁(z)，則

f(z)·g₁(z)=g(z)

是一整函數，於是 f( z)= g( z)/ g ₁( z)，即每一亞純函數能表為兩個無公共零點的整函數之商。

　　米塔-列夫勒定理　瑞典數學傢G.米塔-列夫勒將有理函數部分分式表示定理推廣於一般亞純函數。每一有理函數能表為部分分式，它將函數的極點和相應的主要部分明顯地指示出來。如設

是有理函數 f( z)的極點，其主要部分為

則有一適當的多項式 p( z)，使得

反之，總可以構造一有理函數使得它具有預先給定的極點和主要部分。對於一般的亞純函數自然地提出相應的問題，即是否有一個相應的“部分分式”表示，能否和如何構造一亞純函數使得它具有預先給定的極點和相應的主要部分，以及這樣的函數確定到何種程度。後一問題能立即得到回答，即任兩個具有相同極點和主要部分的亞純函數之差為一整函數。但一般亞純函數具有無窮多個極點，而相應的主要部分之和 不一定收斂，因而必須修改這個級數使它收斂而同時又不引進新的奇點，這可以象整函數分解為無窮乘積一樣，對上述級數的每一項加上一個適當的多項式 P _n( z)使得滿足

(2)

來實現，由此得到下面以發現者命名的定理。

　　米塔－列夫勒定理　若給定趨於無窮的點列{z_n}和相應的形如(1)的

則必存在一亞純函數

恰以{ z _n}為極點並以 為其主要部分，其中 p _n( z)選取為使(2)成立的多項式。

　　於是具有相同極點和主要部分的最一般的亞純函數為

f(z)=f₀(z)+g(z) (3)

式中 g( z)為任一整函數。此外，若以任一亞純函數 f( z)的極點和其主要部分構造一亞純函數 f ₀( z)，則加上適當的整函數 g( z)即得 f( z)。換言之，任一亞純函數能表為部分分式。這就完全解決瞭上面提出的問題。例如，

　　柯西方法　根據上述定理得到的亞純函數表示式中p_n(z)不是惟一確定的，在應用此定理於實際例子時，主要的困難是確定(3)中的整函數g(z)。由於這個原因，柯西曾給出一種分解方法，對相當廣一類亞純函數得到簡單的表示式。

　　令

為一圓，它不通過任何極點且包含 z ₁， z ₂，…， z _n為其內，又設 z _n≠0，首先可得

求和是對с _m內之極點而作，進一步計算上式積分可得

式中 k為某一正整數， p _n( z)是 在零點鄰域冪級數展式的首 k項之和。假設存在一列с _m，其半徑 R _m隨 m而趨向無窮，且在其上函數滿足

這時(4)式就是柯西給出的亞純函數部分分式表示。

　　近代亞純函數理論是20世紀20年代由R.奈望林納所創立的（見函數值分佈論）。