常微分方程是含有未知函數及其導數的方程，差分方程中含有未知函數及其差分，但不含有導數，微分差分方程是同時含有未知函數及其導數和差分的方程。它同時具有常微分方程與差分方程的特點，而以二者作為特殊情況。從歷史發展看，微分差分方程的產生和發展並不是二者形式上的推廣，而是來自許多不同學科的實際問題。
對一個物理或技術系統，往往要考慮時間延遲的作用。例如在火箭控制理論中，燃燒室壓力x(>t)的運動方程為
，
壓力的變化率
ẋ(
t)不僅依賴於當時的壓力
x(
t)，而且明顯地依賴於過去的壓力狀況
x(
t-τ)，τ稱為時滯，它反映燃料從射入燃燒室加熱到即將燃燒的臨界狀態需要一段時間。這個方程是一種簡單的含常數偏差變元的微分方程。
考慮多個時滯的微分差分方程
，(1)
式中時滯
h
k(
k=1，2，…，
m)為常數，如果這些常數全為正，稱(1)為滯後型方程；如果全為負，稱(1)為超前型方程。如果方程右端還有導數的滯後項
稱為中立型方程。對於高階方程或者方程組也有類似的分類。
20世紀30年代起對偏差變元微分方程進行瞭系統的研究。R.貝爾曼和K.L.庫克(1963)，Л.Э.埃利斯戈爾茨(1964)總結瞭1960年以前的成果。50年代末H.H.克拉索夫斯基(1959)把偏差變元微分方程放到函數空間來考慮，如(1)中的偏差滿足條件
，則(1)的右端可看為[
t-
h
m，
t]上函數
x(·)的泛函，從而微分差分方程成為推動
泛函微分方程發展的基本原型。微分差分方程特別是滯後型方程在物理學、力學、控制理論和技術以及生物學、經濟學等領域有廣泛的應用。
初值問題 滯後型方程(1)(其中
)在時刻
t
0的初值問題是在初值條件
x(
t)＝
φ（
t），-
h
m≤
t≤
t
0之下求
t＞
t
0的解
x(
t)。通過把這個問題化為常微分方程的分步法，可以討論解的存在性、惟一性問題，並對簡單的方程逐步求解。在區間
t
0≤
t≤
t
0+
h
m上等價的常微分方程初值問題為
。
設
f(
t，
x，
y
1，…，
y
m)在
連續，且|
f|≤
M，
φ(
t)是區間[
t
0-
h
m，
t
0]上的連續函數，則在區間
上方程(1)存在滿足初值條件
x(
t)＝
φ(
t)，
t
0－
h
m≤
t≤
t
0的連續解
x（
t）≡
x（
t；
t
0，
φ）。若
f(
t，
x，
y
1，
y
2，…，
y
m)對[-
h
m，0]上每個
φ(
t)，函數
f（
t，
φ(
t)，
φ(
t-
h
1)，…，
φ(
t-
h
m)）是連續的，且
f關於
x，
y
1，
y
2，…，
y
n在(
t
0，
φ(
t
0)
φ(
t
0-
h
1)，…，
φ(
t
0-
h
m)的小鄰域內滿足李普希茨條件(見
常微分方程初值問題)，則上述解是惟一的，並且解關於初值函數
φ是連續依賴的。用不動點定理（見
不動點理論）和格朗瓦爾不等式可以證明上述存在性和惟一性。對於中立型方程，也可以用分步法求解，但初值函數
φ(
t)應是可微的。
若f關於變量有足夠多次的連續導數，滯後型方程(1)的解在向右開拓時，光滑度增加，若0＜h1＜h2<…＜hm，
在(
t
0+(
j-1)
h
m，
t
0+
j
h
m)上連續，而在
t
0+(
j-1)
h
m處一般有第一類間斷；至於向
t
0的左方開拓，即使是一階方程也不一定可能。
若(1)中時滯hi為t的連續函數，0<τ≤hi(t)≤r，τ，r為常數，以上的存在唯一性的結論仍然成立。
線性微分差分系統 設非齊次線性微分差分方程組為
，(2)
式中諸
A
k(
t)，
B
k(
t)是連續的
n×
n陣，
f(
t)是連續的
n維向量，
h
k(
k=0，1，…，
m)是常數且0=
h
0＜
h
1＜…＜
h
m。它和常微分方程一樣，也有常數變易公式。設
Y(α，
t)關於α(α ≤
t+
h
m)是(2)的伴隨微分方程的矩陣解，即
滿足初始條件
Y(α，
t)≡0，
t＜α ≤
t+
h
m;
Y(
t，
t)≡
I（恒等陣），則方程(2)的具有連續可微初值函數
的解
x(
t;
t
0，
φ)，可表示為
這是系統（2）的常數變易公式。若（2）是滯後方程，
A
k(
t)≡0(
k=1，2，…，
m)，則(4)中關於
A
k的和式不出現，也不要求
φ(
t)可微。
設線性系統為
隻有一個時滯τ，而
A，
B為
n×
n常數陣。置
方程
det
H(s)=0稱為(5)的特征方程，它的根稱為特征根，特征方程是超越方程，一般有無窮多個根，且全部在某一左半面上，即存在
σ
0，使一切特征根s的實部小於
σ
0，若
f的增長速度不快於某一指數冪，即有с
1＞0，с
2＞0，
，且
f在[0，∞)上連續。對任意的初值函數
φ(
t)∈
C
1([-τ，0])，用
拉普拉斯變換可以把(5)的解表示為
，(6)
式中с是充分大的實數；
穩定性問題 設x0(t)=x(t;t0，φ)是滯後型方程初值問題
的解；若對任意的
ε＞0，存在
δ(
ε，
t
0)，當模
時，不等式
成立，則稱解
x
0(
t)關於
E抝上的擾動為穩定的。由於(7)的解不一定能向左開拓或隻有單側連續依賴性，解
x
0(
t)可能關於
E掲 上的擾動為穩定，而對某個
，
關於
上的擾動不穩定。因此，方程(7)的解
=
x(
t;
t
0，
φ)為穩定的是指：對任意
ε＞0及任意的
≥
t
0，存在
δ(
ε，
)，使對任何連續解
x(
t)，當
時，成立|
x(
t)-
x
0(
t)|＜
ε，
t≥
。如果
δ隻同
ε有關，則稱
x
0(
t)是一致穩定的。如果在穩定的情況下，進一步有
， (8)
則稱
x
0(
t)為漸近穩定的。如果
x
0(
t)為一致穩定，且對任意
η＞0，存在
δ
1(
η)及
T(
η)>0，使當
時，｜
x(
t)-
x
0(
t)｜＜
η，
t≥
t
0+
T成立，則稱
x
0(
t)為一致漸近穩定的。對中立型方程
ẋ(
t)=
f(
t，
x(
t)，
x(
t-τ)，
ẋ(
t-τ))的解
x
0(
t)的穩定性可類似定義，但在估計在
E掲上的擾動時，要用一階模
。
若常系數線性系統
(9)
的特征方程
的一切根有負實部，則(9)的零解一致漸近穩定，這時存在
M≥1，
γ＞0，使下式成立：
，(10)
若有正實部的特征根，則零解不穩定。系統(9)與對應的常微分方程
(11)
在穩定性方面的關系如下：若(11)的零解漸近穩定，則對充分小的
h
m，(9)的零解漸近穩定；若(11)至少有一特征根具正實部，則對充分小的
h
m，(9)的零解不穩定；若(11)有單特征根零，其餘特征根有負實部，則對充分小的
h
m，(9)的零解穩定。
因為特征方程
的根都具有負實部的條件很難驗證，特別當線性方程有變系數甚至是變時滯的偏差變元方程，特征根法就不適用，這時主要用李亞普諾夫直接法（見
常微分方程運動穩定性理論）。
若線性系統
(12)
的零解一致漸近穩定，這時(10)成立。若
， (13)
式中
，則攝動系統
的零解一致漸近穩定。這個結論可以用李亞普諾夫方法得到。