完全數

　　一個正整數n，其全部因數的和等於2n。例如6的因數的和是1+2+3+6=12，28的因數的和是1+2+4+7+14+28=56，所以6與28都是完全數。

　　西元前6世紀，古希臘數學傢畢達哥拉斯，就首先觸及完全數問題。古希臘數學傢歐幾裏得證明瞭p和2p-1均為素數時，2^p-1(2^p-1)是一個完全數，為此而初步建立瞭整數的可除性理論。約二千年之後，L.歐拉證明瞭每一個偶完全數n都具有歐幾裡得指出的形狀，即n=2^p-1(2^p-1)，這裡p和2^p-1均為素數。1911年，L.E.迪克森給出上述結果一個簡短的證明。由此可見，偶完全數與梅森數2^p-1有密切關系。

　　是否有無窮多個偶完全數的問題，歸結為是否有無窮多個素數p使2^p-1是素數，這是數論中尚未解決的著名問題。是否存在奇完全數，是完全數中另一個著名難題，盡管有許多數學傢進行瞭大量的工作，但至今仍未解決。L.歐拉曾經證明，奇完全數n如果存在，則n的分解式為

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式中 p， q ₁， q ₂，…， q _t是不同的素數，α ≡ p≡1(mod4)。1888年，J.J.西爾維斯特證明瞭 t≥4，他還指出瞭 t=4不可能。1970年，W.麥克丹尼爾證明瞭（*）中 2 β _j+1≡0(mod3)( j=1，2，…， t)。1973年，P.哈吉斯證明瞭如果 n是奇完全數，那麼 n＞ 10 ⁵⁰。1978年，有人證明瞭若 n為奇完全數，則 1980年，哈吉斯還證明瞭如果存在奇完全數 n，則 n至少有8個不同的素因子。