拓撲動力系統

　　又稱抽象動力系統，是具有連續性質的動力系統。它是通過拓撲映射（不一定通過微分方程）來定義的。設常微分系統

(*)

的右側函數

< ，且滿足解的惟一性條件， 為 n維歐幾裡得空間。由於 S( x)與 t無關，不失一般性，可設(*)的每個解 φ( x， t)在整個實軸 I上有定義，於是它確定瞭 × I到 的變換，滿足：

　　① 初值條件：φ(x，0)=x;

　　②φ(x，t)對x，t一並連續；

　　③ 群的條件：即對任意x∈

，任意 t ₁， t ₂∈ I有 ；

　　④φ(x，t)對t可微。

　　為瞭更一般地研究問題，可以拋開常微分系統，並假設空間是一般的度量空間R。設φ(x，t)是R×I到R且滿足性質①、②、③的單參數連續變換群，則所有這些變換的全體稱為拓撲動力系統或抽象動力系統，記作

，其中參數 t代表時間。點集{ φ( x， t)， t∈ I}稱為過點 x的軌線或軌道，記作 φ( x， I)。仿此，稱 為正半軌線， 為負半軌線。 φ( x； 為弧段。當 t∈ I ⁺(半群)， 稱為半動力系統或半流；當 t∈ N（整數加群）， 稱為離散動力系統或離散流。若 φ( x， t)= x，對一切 t∈ I，則稱點 x為休止點，若 φ( x， t+ ω)＝ φ( x， t)，對一切 t∈ I，其中 ω＞0，則稱 φ( x， t)為周期軌線，滿足上述等式的最小正數 ω，稱為周期軌線的周期。

　　例如，下面是一個有趣的拓撲動力系統──別佈托夫系統。

　　令勪

。對於 f( x)， g( x)∈勪，定義距離

。

對距離ρ，勪 構成完備的可分的度量空間。定義映射φ：勪×I→I如下：

，

於是它構成一個拓撲動力系統，稱為別佈托夫系統，簡記為

。

　　由n個符號所組成的一切可能的雙無窮序列，在上述類似的距離和軌線的定義下，組成動力系統，稱為符號動力系統，它可視為

的子系統。很多拓撲動力系統可嵌入 成為它的子系統。

　　若f(x)≡с，則φ(f(x)，t)是休止點；若f(x+ω)＝f(x)，對一切x∈I，其中ω＞0，則φ(f(x)，t)是周期軌線。周期軌線在

中處處稠密。另外 中含有在勪中處處稠密的軌線。

　　極限點集及軌線分類　G.D.伯克霍夫認為，動力系統理論主要是研究各種軌線的類型及其間的關系。為瞭研究軌線的分類，必須瞭解軌線在無窮時(t→±∞)的狀態。

　　極限點集　設：實數列

。如果有 ，則稱點 y是軌線 φ( x， t)的 ω-極限點， Ω _x表示 φ( x， t)的一切 ω－極限點集。若 ，則稱 y是 φ( x， t)的α－極限點， A _x表示 φ( x， t)的一切α－極限點集。

　　不變集　設給定集合A⊆R，若對一切t∈I，φ(A，t)=A，則稱A是不變集。Ω_x和A_x是閉的不變集。任何一條軌線是不變集，但不一定是閉集。

　　極小集　集合∑⊆R稱為極小集，若它是非空、閉的且不變；同時它沒有任何真子集也具有這三條性質。顯然，Σ中的每一條軌線在Σ上處處稠密。另外，在

上所定義的拓撲動力系統，若對軌線 φ( x， t)而言， ，則 φ( x， I)就是一個極小集，但它不是緊致的。而比較有趣的是緊致極小集，如休止點和周期軌線就是緊致極小集。在 R ²上定義的連續動力系統的緊致極小集隻能是休止點和周期軌線。但當 R≠ R ²時，情形就不同瞭。

　　例如，

式中 θ， φ的周期都為1。這樣就在二維環面 T ²上定義瞭動力系統。當у是有理數時， T ²上都是周期軌線；而у是無理數時， T ²上的每條軌線在其上處處稠密， T ²構成緊致極小集。

　　又如，前例中，當у是無理數時，令

， ，式中 ( θ， φ)是對 θ， φ周期都為1的連續周期函數。對 ；當 ， 。直觀地說，這就是將前例中的一條過點 p且在 T ²上處處稠密的軌線用奇點 p切斷。這時 T ²不再是極小集，而奇點 p是極小集。

　　伯克霍夫證明，若R是緊致度量空間，則在其上定義的動力系統R_t至少包含一個緊致極小集。

　　當R是緊致的二維定向流形，在其上定義瞭C²光滑動力系統。若A是R_t的極小集且在R上無處稠密，則A必是休止點或周期軌線。若Ω_x中不包含休止點或周期軌線，則Ω_x=T²=R。但當R_t隻是C¹光滑時，A.當儒瓦在1931年舉出過反例（見常微分方程定性理論）。

　　軌線分類　根據軌線的極限點的性質，可分為：

　　① 若Ω_x=ø，則稱φ(x，t)為正向遠離；

　　② 若Ω_x≠ø，但φ(x，I)∩Ω_x=ø，則稱φ(x，t)為正向漸近；

　　③ 若

，則稱 φ( x， t)為正向泊松穩定，簡稱 p ⁺穩定。

　　仿此，有負向或雙側的遠離、漸近和泊松穩定軌線，後者分別簡稱為p^-或p穩定。休止點和周期軌線是p穩定的。R²上的連續動力系統的p穩定軌線隻能是休止點或周期軌線，且其上的p⁺或p^-穩定軌線必是p穩定軌線。而當R≠R²時，情形就完全不同瞭。如前述的T₂上被奇點切成兩段的軌線，一條是p⁺穩定的，另一條是p^-穩定的，而T²上其餘的都是p穩定的軌線。比起遠離和漸近軌線來，p穩定軌線是較復雜和較有興趣的。從天體力學觀點看，p穩定軌線在它的運行過程中，將不斷地在其軌線的任一點的任意小鄰域內再現。與此現象相反的是下面的情形。

　　設點x∈R，若存在它的鄰域U(x)及時間T＞0，使得當t≥T時，U(x)∩φ(x，t)=ø，則稱x為遊蕩點。R上的所有遊蕩點集W是R上的不變開集。V=R\W是相對於R的非遊的點集，它是不變閉集。所有p穩定軌線上的點都是非遊蕩點。反之，卻不然。如前述的被奇點切斷的那條軌線，若再用有限個奇點將它切斷，則每兩個奇點之間的那些軌線就既非p^-穩定也非p⁺穩定，但其上都是非遊蕩點。

　　對於p穩定軌線φ(x，t)，根據在其運行過程中，它在軌線上任一點的任意小鄰域中再現的時間序列的性質不同，可分成很多類型，除瞭周期軌線外，最重要的是以下兩類。

　　若對任給ε>0，存在T(ε)>0及I上對T(ε)而言的相對稠密集{τ_n}，使得對一切t∈I和一切τ_n，有ρ(φ(x，t)，φ(x，t+τ_n))＜ε，則稱軌線φ(x，t)是幾乎周期軌線（或稱概周期軌線）。周期軌線便是幾乎周期的，若周期軌線的周期為ω＞0，則可取T(ε)=ω，τ_n=nω。

　　若上述相對稠密集{τ_n}是依賴於軌線上的點y=φ(x，t)或者說依賴於t的，即{τ_n(t)}，則稱φ(x，t)為回復軌線。回復軌線和幾乎周期軌線的閉包的性質是不同的。伯克霍夫證明，緊致極小集內的每條軌線都是回復的;反之，在完備空間內回復軌線的閉包是緊致極小集。而緊致極小集Σ成為幾乎周期軌線的閉包的充分必要條件是：Σ是緊致、交換、連通拓撲群。

　　前例中未被奇點切斷的軌線都是p穩定的，但它們不是回復的。類似地，可構造雙周期函數

( θ， φ)，使得整個環面 T ²是回復軌線的閉包而不是幾乎周期軌線的閉包。

　　A.M.李亞普諾夫穩定性（見常微分方程運動穩定性理論）、吸引區等概念已經推廣到拓撲動力系統。對非自治微分方程的解來引進動力系統，即所謂“斜積流”，這是值得註意的動向。