數學中的基本概念，集合論的主要研究物件。一定範圍的、確定的、可區別的事物，當作一個整體來看待，就叫作集合，簡稱集，其中各事物叫作集合的元素或簡稱元。如①北京、天津、上海三城市；②全體英文大寫字母；③《阿Q正傳》中出現的不同漢字；④全體自然數；⑤平面上的所有直線，都是集合的例。但池子中的水，古今著名小說就不算集合，因為不滿足確定與可區別的條件。事物m是集合S的元素有時也說說成m屬於S或S含有m，記為m∈S。如果集合隻含有有限個元素，便稱為有窮集合，否則稱為無窮集合。在上面的例中，前三個是有窮集合，後兩個是無窮集合。

　　按照集合的定義，當一個集合的所有元素都已知時，這個集合就確定瞭。這時如果它是有窮集，便可將其元素全部列出，置於括弧之內來表示(什麼順序都無關系)。如①｛北京、天津、上海｝，②｛A，B，C，…，Z｝，對於③雖有困難，但原則上還是辦得到的。但是，如果集合是無窮集，那麼，上面的方法就行不通瞭。這時隻好利用能夠刻畫所有元素x的某一性質P(x)來加以概括。如例 ④中的集合可表示為｛x｜x是自然數｝。這種表示也適用於有窮集，如｛北京、天津、上海｝=｛x｜x=北京或x=天津或x=上海｝=｛x｜x為中國現有直轄市｝。一個集合可以沒有任何元素，這種集合隻有一個，叫作空集，通常用北歐字母

來記它。如果集合 B的元素都是 A的元素，就稱 B為 A的子集，或 A包含 B，記為 B⊂ A。例如，偶數全體⊂自然數全體。空集 被看作是任何集合的子集。任一集合 A都是它自己的子集，即 A⊂ A。 A的異於自己的子集 B稱為 A的真子集，記為 B A。兩集合的相等（即含有同樣的元素）可用包含關系來表達： A= B當且僅當 A⊂ B且 B⊂ A。包含關系還具備傳遞性：即由 A⊂ B， B⊂ C可得 A⊂ C。要註意的是，屬於關系∈與包含關系⊂是有區別的：∈是元素對集合的關系，而⊂是集合對集合的關系。可以有 ⊂ ，但 ∈ 不成立。

　　從任意兩個集合A與B可以得到一些新的集合。以屬於A或屬於B的元素為元素的集合稱為A與B的並(集)，記為A∪B（A與B中的相同元素在並集中出現一次）。以屬於A且屬於B的元素為元素的集合稱為A與B的交(集)，記為A∩B。以屬於A而不屬於B的元素為元素的集合稱為A與B的差（集），記為A\B；特別，當B⊂A時，可記為CAB，稱為B關於A的補（集）。例如A=｛0，1，3｝，B=｛0，3，5，10｝，則A∪B＝｛0，1，3，5，10｝，A∩B={0，3}，A\B={1}。並與交的運算分別服從交換律，結合律且共同服從分配律，即對任意的A，B，C，有

A∪B=B∪A，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，

A∩B=B∩A，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。

它們與差運算一起服從德·摩根定律：

S\(A∪B)=(S\A)∩(S\B)，

S\(A∩B)=(S\A)∪(S\B)。

這裡 S為任一集合，特別當 S包含 A與 B時，有

，

。

一個集合也可以以其他集合為元素。這就是所謂集合的集合，如上面例⑤就是一個集合的集合，如果把直線看做是點的集合的話。一個集合 A的所有子集組成的集合是一個很重要的集合的集合，稱為 A的冪集，記為 P( A)。例如，當 A=｛1，2，3｝時， P( A)={ ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}}。集合的集合是所謂集合族的特殊情形。一般而論，如果對於某一集合 I(≠ )的每一個元素 I∈ I，都指定有一個確定的集合 A i，那麼，這些 A i的全體就稱為一個集合族，記為{ A i， i∈ I}。例如，當 I= N即自然數全體時，{ A i， I∈ N}就是集合序列： A 1， A 2， A 3，…。集合族的成員一般允許有重復，如果沒有重復時，它就是一個集合的集合。對於集合族{ A i， I∈ I}，可定義它的並為｛ x｜對某 I∈ I， x∈ A i｝，記為 。仿此，可定義它的交為｛ x｜對一切 I∈ I， x∈ A i｝，記為 。特別當 I=｛1，2，…， n｝時，通常將並寫成 ，將交寫成 ；當 n=2時，就是上面的 A 1∪ A 2和 A 1∩ A 2。當 I= N時，通常將並寫成 ，將交寫成 。兩個對象 α， b按一定次序（譬如 α在前， b在後）排列起來，稱為一個序對，記為＜ α， b＞， α稱為它的第一坐標， b稱為第二坐標。兩個序對＜ α， b＞，＜ α′， b′>當且僅當 α= α′， b= b′即各坐標分別相等時，規定它們是相等的。因此，除非 α= b，＜ α， b＞≠＜ b， α＞。也可直接定義＜ α， b＞為｛｛ α｝，｛ α， b｝｝，雖不大自然，卻很精確。同樣可定義一般的有序 n組。設 A， B為兩個集合，從 A， B中各取一個元素 α， b所作序對＜ α， b＞的全體組成一個集合，即｛＜ α， b＞｜ α∈ A且 b∈ B｝，它稱為 A與 B（按這次序）的直積或笛卡兒積，記為 A× B。直積概念也可從兩個因子推廣到 n個因子， A 1× A 2×…× A n，記為 ，特別當各 A i均等於 A時，稱為 A的 n次直冪，記為 A n，它相當於所有從｛0，1，…， n-1｝到 A的映射全體組成的集。推而廣之，所有從 B到 A的映射全體組成的集可以記為 A 。