橢圓型偏微分方程-百科詞條

　　簡稱橢圓型方程，一類重要的偏微分方程。早在1900年D.希爾伯特提的著名的23個問題中，就有三個問題(第19、20、23問題)是關於橢圓型方程與變分法的。八十多年來，橢圓型方程的研究獲得瞭豐碩的成果。橢圓型方程在流體力學、彈性力學、電磁學、幾何學和變分法中都有應用。拉普拉斯方程是橢圓型方程最典型的特例。

　　拉普拉斯方程　許多定常的物理過程，如穩定的熱傳導過程、牛頓引力理論及及電磁理論中的位勢、彈性薄膜的平衡、不可壓流體的定常運動等，提出形如

(1)

的方程，稱之為拉普拉斯方程，以及泊松方程

(2)

式中 ρ一般有密度的意義。

　　容易得到方程(1)和(2)的一些特解。由於方程是線性的，因此可以由已知的一些特解疊加而得到新的解。積分也是一種疊加。通過積分型疊加，便可得到方程(1)的如下的重要解：

(3)

式中 S為一曲面， μ為定義在 S上的連續函數。由(3)確定的函數 u在 S以外的地方滿足方程(1)。

　　非齊次方程(2)有一個重要的特解，它就是以ρ為密度的體位勢：

(4)

隻要 ρ在域 Ω內有界且連續可微，由(4)確定的函數 u在 Ω內就滿足方程(2)，而在 Ω外則滿足方程(1)。

　　在應用上，往往不是求一些特解，而是求滿足某些附加條件的解。例如，第一邊值問題（狄利克雷問題）：

；第二邊值問題（諾伊曼問題）：

。這裡 Ω為( x， y， z)空間的一個有界域， φ為定義在邊界∂ Ω上的已知連續函數， n為∂ Ω的單位外法向量。

　　這些邊值問題的解的惟一性，由調和函數的一個極值性質很容易推出。拉普拉斯方程的二次連續可微解，稱為調和函數。

　　極值原理　域Ω內的調和函數不可能在域內一點取極大值或極小值，除非這個調和函數恒等於常數。若調和函數的最大值隻在某一邊界點p上達到，則

（假設 u在 p點可微）。

　　這些邊值問題的解的存在性，也不難證明。由格林公式可以推得

　　　(5)

從而有

式中

，

稱為拉普拉斯方程關於域 Ω的格林函數。由此引出解第一邊值問題的如下方法：先求出 G(ξ， η， ξ； x， y， z)，再將所給的邊界值代入，得到

(6)

隻要對邊界面再加上一些限制，就可以證明由(6)確定的函數u是第一邊值問題的解。應當指出，對於某些特殊域，如球、半球、半空間等，格林函數是容易用鏡像法求得的。以球域為例，設K是以原點為中心、R為半徑的球體，關於球體K的格林函數就是

，

式中Q₁是向徑OQ的延長線上的一個點，它使

（如圖

所示）。點 Q ₁為點 Q關於球面 S=∂ K的反演點。將 G( p， Q)代入(6)即得到泊松公式：

它所確定的函數u(Q)就是拉普拉斯方程關於球域K的第一邊值問題的解。

　　利用泊松公式和極值原理，可以推出調和函數的一系列基本性質，如平均值公式

、調和函數的解析性、哈那克定理等等。

　　公式(5)中出現的積分

，分別稱為展佈在曲面Г上密度為 μ的單層位勢和雙層位勢。它們都是 Ω內的調和函數。單層位勢通過邊界面是連續的，而雙層位勢在邊界面上有跳躍。因此為瞭使雙層位勢滿足第一邊值問題的邊界條件，必須選取 μ使它滿足積分方程

，

由於這一積分方程是齊次的，除平凡解外無其他連續解，因此，按弗雷德霍姆定理，該方程對任何 φ恒可解。這樣，以這個解為密度的雙層位勢便給出瞭第一邊值問題的解。利用單層位勢和弗雷德霍姆定理，同樣可以證明第二邊值問題的可解性。上述積分方程法雖然能統一地處理第一邊值問題和第二邊值問題，但是對域的邊界要求過嚴，如要求它是魯古諾夫曲面。

　　關於第一邊值問題的解的存在性論證有許多更一般，的方法，如龐加萊-佩隆方法、施瓦茲交替法、差分法等。

　　第一邊值問題，還可用變分法求解。古典的變分法理論指出，如果函數u=

( x， y， z)適合第一邊值問題的邊界條件，且使泛函（狄利克雷積分）

　　　(7)

取極值，則當

∈ C ²( Ω)，

必滿足這一泛函的歐拉-拉格朗日方程，即

是拉普拉斯方程(1)的解。這種把一泛函的極值問題歸結為解微分方程的邊值問題，是變分法早期的理論。但是這一理論隻有在極少的特殊情形才是可行的。因此人們產生瞭與此相反的思考，用求解泛函極值問題來獲得微分方程邊值問題的解。（G.F.）B.黎曼由泛函(7)的非負性作出斷：(7)必存在極小值函數，它就是狄利克雷問題的解。這個論斷稱為狄利克雷原理。 K.（T.W.）外爾斯特拉斯指出瞭黎曼在提出這個論斷時邏輯上的不嚴密，並舉出瞭有下界而無極小值的泛函的例子。多年之後，首先由希爾伯特給出瞭狄利克雷原理的完整無缺的證明。其他的證明也隨之相繼出現，這方面的研究極大地推動瞭泛函分析的發展，也使得變分法成為研究偏微分方程的強有力的工具。

　　二階橢圓型方程　形如

的方程，若(α_ij(x))為正定的矩陣，則稱為橢圓型的；若(α_ij(x)) 的最大特征值與最小特征值之比有界，則方程(8)稱為一致橢圓型的。經常考慮的是方程(8)的如下三種邊值問題;①第一邊值問題（狄利克雷問題），其邊界條件為

。②第二邊值問題(諾伊曼問題)，其邊界條件為

。③第三邊值問題(混合問題)，其邊界條件為

φ(ξ)，這裡 α可在∂ Ω的部分點集上為0， v方向與補法線方向夾角小於π/2。

　　二階橢圓型方程的研究甚早，在50年代以前，對方程(8) 的一些基本邊值問題的可解性就獲得某些成果。在幾十年的發展中，建立瞭各種解法，例如，紹德爾方法、泛函方法、差分法、變分法、積分方程法，等等。

　　紹德爾方法是建立在紹德爾估計之上的。設C_k+α表示k次連續可微且k階微商α 赫德爾連續的函數類，又設Ω是Rⁿ中的C_2+α區域，方程(8)的所有系數和自由項都屬於C_α。所謂紹德爾估計，是指若方程(8)在Ω中有解u，並且

，則

式中с是一個與方程(8)和區域有關的常數。

　　在上述假設下，由泊松方程具有

解 u以及一般線性方程的極值原理，當с≤0時可以得

的估計。因此利用紹德爾估計和參數的連續開拓就可以證明方程(8) 的狄利克雷問題的解的存在性。作為極值原理的一個直接推論：當с≤0時狄利克雷問題的解是惟一的。

　　泛函方法肇端於K.O.弗裡德裡希斯1934年關於對稱橢圓算子半有界擴張的工作。H.外爾，C.Л.索伯列夫、C.Γ.米赫林和М.И.維希克等人在40年代末期的進一步研究表明，解橢圓型方程的基本邊值問題等價於解形如x＋AX＝f的算子方程，其中A是希爾伯特空間的全連續算子。從而由泛函分析的裡斯－紹德爾理論得到橢圓型方程可解性的所謂“二擇一原理”。

　　近幾十年來橢圓型方程的重大進展之一，是解擬線性橢圓型方程