20世紀70年代發展起來的一個新的數學學科。一種自然現象或一個技術過程，在發展變化過程中常常會從一個狀態跳躍式地變到另一個狀態，或者說經過一段時間緩慢的連續的變化之後，在一定的外界條件下，會產生一種不連續的變化，這就是所謂的突變現象。這類突變現象在大自然裏以及在技術過程中都是普遍存在的。例如，一定品質的氣體在一定的溫度和壓力之下會變成液體，天氣的突然變化會產生暴風雨，地殼的劇烈運動會引起地震，橋樑的扭曲會導致斷裂，容器裏的幾種物質在一定的外界條件下會發生化化學反應，胚胎的發育，等等，這些現象都是突變現象。以前科學傢們在研究這類突變現象時遇到瞭各式各樣的困難，其中主要困難之一就是缺乏恰當的數學工具來提供描述它們的數學模型。1969年法國數學傢R.托姆在他的題為《生物學中的拓撲模型》一文中，首次在奇點分類的基礎上提出瞭一個描述突變現象的數學模型。稍後，他在著名的《結構穩定與形態發生》一書中又系統地闡述瞭他的思想，這就是現在人們所稱的突變理論。

　　澤曼機是E.C.澤曼為闡述突變理論而構造的一個力學例子。D是一個半徑為1的圓盤，它可以圍繞xy平面的原點O自由轉動。A是xy平面上的一個固定點，AO的長為3，B是圓盤上的一個固定點，取兩條長度為1的彈性帶子，把其中的一條的一端固定在點A，另一端固定在圓盤上的點B處；另一條彈性帶子的一端固定在B處，另一端C在平面上自由移動。當點C在平面上連續變動時，隻要BC的長度大於1，那麼在彈性力的作用下，一般說來，圓盤是跟著C點的移動而連續地轉動。在實驗中發現，當C移動到某些點時，圓盤會從一個狀態跳躍到另一個狀態，發生瞭不連續的變化即突變。通過實驗就可以看到這種突變點構成一條如圖1

所示的尖點狀的曲線。對這樣一個力學系統的運動，取直線 O A為 y軸，首先找出刻畫圓盤狀態的參數，可以用 O B與 O A的夾角 θ來刻畫圓盤的狀態並稱 θ為狀態參數，或稱內參數。點 C的運動控制著圓盤的運動，所以點 C的坐標( x， y)就稱為控制參數或外參數。由胡克定律可知，這個力學系統有個勢函數。當兩條彈性帶子的長度分別為 l 1、 l 2時，它們的總勢能為 V=( l 1-1) 2+( l 2-1) 2，式中 l 1= A B， l 2= B C，將

代入 V，可以看出 V是 θ、 x、 y的函數。由極小勢能原理可知，當點 C的坐標為( x 0， y 0)時，圓盤狀態 θ 0應使 V( θ 0， x 0， y 0)為勢函數 V( θ， x， y)的極小值。也就是說，這個力學系統的狀態( θ， x， y)應滿足方程式 。在三維空間( θ， x， y)∈ R 3中，方程式 確定一曲面，記作 M V並稱它為狀態曲面或突變流形。它上面的點代表這個力學系統的一個狀態。從奇點理論研究的結果知道，可以選取適當的坐標( φ， u，υ)使得函數 V在新坐標系中有很簡單的分析表達式：

而狀態曲面 M V由方程

所決定。這個曲面圖形如圖 2 所示。幾何上曲面 M V是這樣描述力學系統運動的：為瞭使圖看起來清晰，把 u，υ平面沿 φ軸向下平移一個距離，ⅹ V表示 M V到( u，υ)平面的垂直投影，曲面 M V的兩條折疊線在ⅹ V下的像是一條尖點曲線α，給定一點 p 0( u 0，υ 0)，圓盤的狀態 φ 0應該使

，

即( φ 0， u 0，υ 0)是曲面 M V上的一點 Q 0，亦即通過點( u 0，υ 0)平行於 φ軸的直線與 M V的交點就是 。當控制參數 p＝( u，υ)在平面上沿一條曲線從 p 0連續地變到 p 1， p 2時，相應的代表系統狀態的點 Q就從 Q 0連續地沿著曲面上一條曲線變到 Q 1， Q 2。但當點 p通過曲線上的點 p 3時，相應的代表系統狀態的點 Q就從曲面的折疊處（懸崖上）掉到曲面的下面一葉上的點 Q 3，這就是代表系統狀態的點 Q產生瞭不連續的跳躍，即描述瞭系統的突變運動。曲線α具有重要性質：當控制參數( u，υ)穿過它時，系統狀態產生突變。曲線α看作點集並稱為突變集，而ⅹ V稱為突變映射。研究一下曲面 M V和映射ⅹ V： M V→ R 2就可以看到曲線α就是映射ⅹ V的奇點集在ⅹ V下的像。因此，若要找突變集，首先是要求出ⅹ V的奇點集。

　　由這個力學的實例可以概括出研究突變現象的數學方法：

　　① 確定刻畫系統狀態的參數(x1，x2，…，xn)及系統的控制參數(u1，u2，…，ur)。在上例中就是確定出刻畫圓盤的狀態的參數θ以及控制參數(x，y)。

　　② 確定支配系統的勢函數p(x1，x2，…，xn;u1，u2，…，ur)在控制參數為（u1，u2，…，ur）時系統的平衡態(x1，x2，…，xn)使得勢函數p取極小值，在上例中就是找出系統的彈性勢能V(θ，x，y)。

　　③ 確定系統所有可能出現的平衡態構成的空間Mp，Mp是Rn+r中由方程式

所確定的子流形。

　　④ 研究Mp到Rr(u1，u2，…，ur)上的投影

，以Σ p記 ⅹ p的奇點集， R r( u 1， u 2，…， u r)中的ⅹ p(Σ p)稱為分歧集。它確定瞭突變可能發生的范圍。

　　一般說來，勢函數可以是非常復雜的。但是托姆關於基本突變分類定理告訴人們，盡管勢函數p千千萬萬，但是隻要勢函數的控制參數u1，u2，…，ur的個數不超過4，用奇點的語言就是：p(x1，x2，…，xn)的餘維r≤4，結構穩定的勢函數的拓撲型（即在坐標的微分同胚變換之一）隻有七種類型（見表

結構穩定的勢函數的七種拓撲型 ）。

　　

參考書目

　R.Thom，Structural Stability and Morphogenesis，W.A.Benjamin，Reading，Mass.，1975.

　R.Thom，Topological Models in Biology，Topology8，pp.313～355，1969.