又稱拓撲向量空間，它是具有拓撲結構的線性空間，賦範線性空間概念的推廣。

　　泛函分析早期所研究的空間大都是賦範線性的。但到瞭30年代初，人們已經充分地認識到，無論從巴拿赫空間理論本身，還是運算元代數的研究，都必須引進一般的，不隻是序列收斂的弱拓撲。那時已經把巴拿赫空間的一些基本結果推廣到完備的、擬賦範的線性空間上去。其後，分佈理論的出現，又提出一批新空間如D空間、φ空間等等。這樣大量的重要空間就不再是賦範線性的瞭，於是有必要在在它們的基礎上，建立起局部凸拓撲線性空間理論。從而開創瞭新的研究領域，也使泛函分析舊有的理論得到進一步發展。

　　設x既是實或復的數域K上的線性空間，又是拓撲空間，並且x×x→x的映射{x，y}

x+ y和 K× x→ x的映射{α， x} α x都是連續的，則稱 x為拓撲線性空間。以下還假定所論拓撲線性空間是豪斯多夫空間，因為絕大多數有趣的定理和應用都是關於這類空間的。

　　線性空間E中的點集A，如果當x，y∈A且0≤α≤1時αx+(1-α)y∈A，則稱A是凸集。設A與B是拓撲線性空間x中的點集，如果存在α>0使B⊂αA，則稱A吸收B。如果任何x∈x都被M吸收，則稱M為吸收的點集。若對x∈M，當｜λ｜≤1時總有λx∈M，則稱M是平衡的。顯然賦范線性空間中的點集 {x;‖x‖＜r}都是吸收的，平衡的。設M⊂x，若對0點的每個鄰域V都有α＞0使M⊂αV則稱M為有界集。

　　拓撲線性空間x為賦范的充要條件是x的0點有凸的、有界的鄰域。

　　擬賦范空間　如果線性空間x上每個元x都恰有一數‖x‖與之對應，且①‖x‖≥0又‖x‖＝0當且隻當x=0；②‖-x‖=‖x‖，又當 αn→α，‖xn-x‖→0 時有

；③‖ x+ y‖≤‖ x‖+‖ y‖，則稱 x為擬賦范的線性空間。這是賦范線性空間的重要推廣。若 x還按距離d( x， y)＝‖ x- y‖是完備的，便稱 x為 F空間。[0，1]上全體幾乎處處是有限的，可測實值函數構成的集合 S[0，1]按

成為典型的 F空間。 F空間都是拓撲線性空間。

　　局部凸空間　如果拓撲線性空間x在0點存在由凸集構成的鄰域基，則稱x為局部凸拓撲線性空間，簡稱為局部凸空間。局部凸空間上必定存在非零的連續線性泛函。可以證明S[0，1]上沒有非零的連續線性泛函，從而S[0，1]便不是局部凸的。對於這樣的空間當然也就沒有對偶理論瞭。據此可見局部凸假設的重要性。

　　對局部凸空間x，可以證明存在x在原點之鄰域基，其中每個鄰域都是凸的、平衡的、吸收的。

　　若C是線性空間E中一個凸的，吸收的點集，則有所謂閔科夫斯基泛函

，

它具有性質：① ρ( x+ y)≤ ρ( x)+ ρ( y)，②當 t≥0， ρ( t x)= t ρ( x)，③若又設 C是平衡的，則 ρ(α x)=｜α｜ ρ( x)。一般也稱具有性質①與③的函數 ρ( x)為半范數。

　　另一方面，於一族半范數

，如果 ρ α( x)=0對一切α∈ A都成立導致 x=0，則全體{ x｜ ρ αj( x)＜ε， i=1，2，…， n}，其中α i∈ A，ε>0，便生成一個局部凸空間在0點的鄰域基。在應用上，許多局部凸空間正是這樣自然形成的。

　　完全的、可度量化的局部凸空間稱為弗雷歇空間。在文獻上，弗雷歇空間這個詞的使用是不統一的，也有不少人把前述F空間叫做弗雷歇空間。局部凸的空間x可度量化必須且隻須x上的拓撲能由可數多個半范數生成。巴拿赫空間上的算子理論大部分可以推廣到弗雷歇空間上去。許多重要的空間是弗雷歇空間或者是由它們生成的，例如φ(Rn)空間、DK空間、D空間等等。

　　凸集　重要的哈恩－巴拿赫定理也可以表述為：若巴拿赫空間x的線性簇g（線性空間經平移後的集）與開球K不相交，則有閉超平面H使Hɔg而H∩K=ø（見巴拿赫空間）。上述g與K是很特殊的凸集。但對於有限維空間，H.閔科夫斯基在1911年便已論述瞭一般凸體的分離定理。對於局部凸拓撲線性空間x有下述一般的分離定理：設A與B是x中非空的、不相交的凸集，則①若A含有內點，則有x上之非零連續線性泛函f與實數r使Ref(x)≤r≤Ref(y)（當x∈A而y∈B）；②若A是閉的，B是緊集，則有x上之連續線性泛函與實數r1，r2使得Ref(x)＜r1＜r2＜Ref(y)（當x∈A而y∈B）。分離定理對於凸集之拓撲性質的研究是很有用的。凸集的幾何學是拓撲線性空間論的特色。

　　端點　在凸性的研究中，很早就出現瞭端點這概念。後來發展成重要的端點方法。

　　設E是線性空間，ø≠M⊆K⊂E，如果從K中兩個點k1和k2的一個真凸組合

，恒有 k 1， k 2∈ M，則稱 M為 K之端集。如果單點集{ z 0}是 K的端集，則稱 z 0為 K的端點。

　　設K是Rn中的緊凸集。閔科夫斯基證明每個x∈K都可表示成至多n+1個K之端點的凸組合。

　　起源於對巴拿赫空間的共軛空間中弱*緊集的研究，1940年證明瞭很有用的克列因-米利曼定理：設K是局部凸空間x中的緊集，又K之全體端點為ε，則K⊆ε之凸閉包

，如果 K還是凸的，則 K= 。

　　G.紹凱在1960年證明瞭如下定理：設K是度量空間x中凸的緊集，則K所有端點的集合ε是一個GΔ集合，且對每個x∈K，有定義在x之一切貝爾集上之非負的貝爾測度μx(·)使得μx(x\ε)=0，μx(ε)=1且

。

　　弱拓撲與麥基拓撲　設x是線性空間，Y是x上一些線性泛函構成的線性空間，且Y能分離x的點，即f(x)=0對一切f∈Y都成立時導致x＝0，便把這樣一對空間記作＜x，Y＞。

　　對於〈x，Y〉，則x上使Y中一切泛函都連續之最弱的局部凸拓撲便稱為x上的Y弱拓撲，記作σ(x，Y)。實際上，一切

就構成 σ( x， Y)在0點的一個鄰域基。當 x是巴拿赫空間時，則 x上的弱拓撲即 σ( X， X *)，而 x *上的弱拓撲即 σ( x *， x)。

　　設線性空間x按拓撲J成為局部凸空間，記作(x，J)。所有在x上按J連續的線性泛函稱為(x，J)的拓撲對偶，記作x*。在x上除瞭σ(x，Y)還可能有其他的局部凸拓撲J使(x，J)的拓撲對偶恰好是Y。人們自然希望能刻畫出所有這樣的拓撲J。

　　對於〈x，Y〉，則在Y之任何凸的，σ〈Y，x〉緊的點集上皆一致收斂的拓撲稱為x上的麥基拓撲，記作τ(x，Y)，亦即

必須且隻須 y( x α)在 Y之任何凸的 σ( Y， x)緊的點集上都一致收斂。

　　拓撲τ(x，Y)比σ(x，Y)強。

　　麥基－阿倫斯定理　對於〈x，Y〉，則x上之局部凸拓撲J使（x，J）的拓撲對偶恰好是Y的充要條件為σ(x，Y)⊆J⊆τ(x，y)。拓撲J也稱為〈x，Y〉拓撲。

　　對〈x，Y〉與M⊂x，則

稱為 M的極集。當 x＝ Y為希爾伯特空間，而 M是 x之子空間時，則 M 0即 M ⊥。當 x為巴拿赫空間， Y= x *而 M={ x｜‖ x‖≤ r}時，則

。

　　佈爾巴基-阿勞格魯定理　設U⊂x是O點之凸的、平衡的、某〈x，Y〉拓撲的鄰域，那麼U0是Y中σ(Y，x)緊集。

　　這是一般拓撲學在泛函分析中的重要成就。

　　對於一個重要的性質p，人們希望能完全地刻畫出使p得以成立的空間結構。這顯然是有趣的，事實上也往往是很有價值的。於是在拓撲線性空間論中便提出許多重要的空間，例如桶空間、蒙泰爾空間、核空間等等。

　　桶空間　局部凸空間x中之平衡的，吸收的凸閉集叫做桶。如果x的每個桶都是O點的鄰域，則稱x為桶空間。這空間的特性在於下列定理：設x是局部凸空間，則x*中一切σ(x*，x)有界集皆同等連續的充要條件是x為桶空間。凡屬第二綱的局部凸空間都是桶空間，於是巴拿赫空間，弗雷歇空間都是桶空間。廣義函數論中的D空間也是桶空間。

　　蒙泰爾空間　設x是桶空間。如果x中每個有界閉集都是緊的，則稱x為蒙泰爾空間。廣義函數論中之D空間與φ空間都是蒙泰爾空間。

　　有界型空間　如果局部凸空間x中任何凸的，平衡的，能吸收任何有界集的點集都是O點的鄰域，則稱x為有界型空間。設線性算子T把有界型空間x映入局部凸空間Y，如果T把每個有界集都映成有界集，則T是連續的。

　　正是由於研究映射的連續性，在局部凸拓撲線性空間論中便出現瞭種種拓撲和空間。前述之弱拓撲、麥基拓撲、有界型空間等都是如此。

　　核空間　設E為局部凸拓撲線性空間，V是O點的一個凸的、平衡的鄰域。視{y｜pV(x-y)=0}為一個元蒀V，這裡pV為對應於V的閔科夫斯基泛函。所有如此蒀V按

成為一個賦范線性空間 x V。如果對 O之任給的一凸的、平衡的鄰域 U，都存在 O的凸的、平衡的鄰域 V使 V⊂ U且相應的典則映射 的完備化空間 U為核算子，則稱 x為核空間，它是抽象核定理得以成立的局部凸空間，是數學分析中重要的拓撲線性空間。

　　由於數學及其應用的要求，人們往往要從熟知的空間，構造出新的拓撲線性空間。

　　歸納極限　設x是復(或實)線性空間，{xn}

都是局部凸空間， 且 設 x n上的局部凸拓撲是 x n+1的拓撲在 x n上的限制，設U是由 x中所有那些凸的、平衡的、吸收的點集 U組成，每個 U∩ x n都是 x n中的開集 n=1，2，…，則U是一個局部凸拓撲在 O點的鄰域基，這局部凸空間便稱為{ x n} 之嚴格歸納極限，這在廣義函數論中是很重要的概念。特點是：設 T為從 x到局部凸空間 Y的線性映射，則 T是連續的必須且隻須每個限制 T｜ x n都連續。弗雷歇空間序列的嚴格歸納極限稱為 L F空間，它是分析學中一類很有用的空間。

　　投影拓撲　乘積拓撲（見拓撲空間）的推廣。設：{Eα}α∈A是一族拓撲線性空間。設φα是一族從線性空間E到Eα的線性映射，則E上一切使φα(α∈A)都連續的拓撲中之最弱者稱為E上相對於{φα}α∈A的投影拓撲。

　　以桶空間這類型說，由它生成的商空間、乘積空間、嚴格歸納極限等都仍然是桶空間。一般對各種類型的空間，往往需要考察由它們生成的空間是否保持原來的類型不變。

　　

參考書目

　N.Bourbaki，Espaces Vectoriels Topologigues，Actualités Sei.Ind Hermann，Paris，1953，1955.

　J.L.Kelley and I.Namioka，et al.，Linear Topological Spaces，Van Nostrand，New York，1963.

　G.Köthe，Topological Vector Spaces，Vo1.I，Springer-Verlag，New York，1969.