數學中一個重要的、基礎的分支。起初它是幾何學的一支，研究幾何圖形在連續變形下保持不變的性質(所謂連續變形，形象地說就是允許伸縮和扭曲等變形，但不許割斷和粘合);現在已發展成為研究連續性現象的數學分支。由於連續性在數學中的表現方式與研究方法的多樣性，拓撲學又分成研究物件與方法各異的若幹分支。在拓撲學的孕育階段，19世紀末，就已出現點集拓撲學與組合拓撲學兩個方向。現在前者已演化成一般拓撲學，後者則成為代數拓撲學。後來，又相繼出現瞭微分拓撲學、幾何拓撲學等分支。。拓撲學主要是由於分析學和幾何學的需要而發展起來的，它自30年代以來的大發展，尤其是它的成果與方法對於數學的各個領域的不斷滲透，是20世紀理論數學發展中的一個明顯特征。
拓撲問題的一些初等例子
柯尼斯堡的七橋問題（一筆畫問題） 柯尼斯堡是東普魯士首府，普萊格爾河橫貫其中，上有七座橋（見圖論）。一個散步者怎樣才能走遍七座橋而每座橋隻經過一次？這個18世紀的智力遊戲，被L.歐拉簡化為用細線畫出的網絡能否一筆畫出的問題，然後他證明這是根本辦不到的。一個網絡之能否一筆畫出，與線條的長短曲直無關，隻決定於其中的點與線的連接方式。設想一個網絡是用柔軟而有彈性的材料制作的，在它被彎曲、拉伸後，能否一筆畫出的性質是不會改變的。
歐拉的多面體公式與曲面的分類 歐拉發現，不論什麼形狀的凸多面體，其頂點數υ、棱數e、面數f之間總有
這個關系。從這個公式可以證明正多面體隻有五種（見
正多面體）。值得註意的是，如果多面體不是凸的而呈框形（圖1），也不管框的形狀如何，總有
。這說明，凸形與框形之間有比長短曲直更本質的差別，通俗的說法是框形裡有個洞。
在連續變形下，凸體的表面可以變為球面，框的表面可以變為環面（輪胎面）。這兩者卻不能通過連續變形互變。在連續變形下封閉曲面有多少種不同類型？怎樣鑒別它們？這曾是19世紀後半葉拓撲學研究的主要問題。把曲面變形成多面體後的歐拉數υ-e+f在其中起著關鍵的作用（見閉曲面的分類）。
四色問題 在平面或球面上繪制地圖，有公共邊界線的區域用不同的顏色加以區別。19世紀中期，人們從經驗猜想用四種顏色就足以給所有的地圖上色。證明這個猜想的嘗試，卻延續瞭100多年，到1976年才出現瞭一個借助於計算機的證明。如果不是在平面上而是在輪胎面上畫地圖，四色就不夠瞭，要七色才夠。用橡皮做一個曲面模型，然後隨意扭曲，弄得山巒起伏，這對其上的地圖著色毫無影響，所以這顏色數也是曲面在連續變形下不變的性質。
紐結問題 空間中一條自身不相交的封閉曲線，會發生打結現象。要問一個結能否解開（即能否變形成平放的圓圈），或者問兩個結能否互變（例如，圖2
中的兩個三葉結能否互變），並且不隻做個模型試試，還要給出證明，那就遠不是件容易的事瞭（見
紐結理論）。
維數問題 什麼是曲線？樸素的觀念是點動成線，隨一個參數（時間）連續變化的動點所描出的軌跡就是曲線。可是，G.皮亞諾在1890年竟造出一條這樣的“曲線”，它填滿整個正方形！這激發瞭關於維數概念的深入探討，經過20～30年才取得關鍵性的突破（見維數）。
佈線問題（嵌入問題） 一個復雜的網絡能否佈在平面上而不自相交叉？做印刷電路時自然會碰到這個問題。圖3中左面的圖把一根對角線移到方形外面就可以佈在平面上，但圖4兩個圖卻無論怎樣挪動都不能佈在平面上。1930年K.庫拉托夫斯基證明，一個網絡是否能嵌入平面，就看其中是否不含有這兩個圖之一。
向量場問題 考慮光滑曲面上的連續的切向量場，即在曲面的每一點放一個與曲面相切的向量，並且其分佈是連續的。其中向量等於0的地方叫作奇點。例如，地球表面上每點的風速向量就組成一個隨時間變化的切向量場，而奇點就是當時沒風的地方。從直觀經驗看出，球面上的連續切向量場一定有奇點，而環面上卻可以造出沒有奇點的向量場。
進一步分析，每個奇點有一個“指數”，即當動點繞它一周時，動點處的向量轉的圈數；此指數有正負，視動點繞行方向與向量轉動方向相同或相反而定(圖5
)。龐加萊發現，球面上切向量場，隻要奇點個數是有限的，這些奇點的指數的代數和（正負要相消）恒等於2；而環面上的則恒等於0（見
曲面）。這2與0恰是那兩個曲面的歐拉數，這不是偶然的巧合。
不動點問題 考慮一個曲面到自身的連續變換（映射），即曲面的每一點被移到該曲面上的新的位置，連續是指互相鄰近的點被移到互相鄰近的點。新舊位置相同的點叫作這變換的不動點。每個不動點也有個“指數”，即當動點繞它一周時，從動點指向其像點的向量轉動的圈數。拓撲學傢們發現，曲面到自身的映射的不動點個數如果是有限的，它們的指數的代數和不會因對這映射做細微的修改而改變，因而可從這映射的某些粗略的特征計算出來。特別是對於實心圓上的映射，指數和恒為1，所以實心圓到自身的映射總有不動點。這類定理對於證明數學中各種方程的解的存在性非常有用（見不動點理論）。
以上這些例子啟示瞭：幾何圖形還有一些不能用傳統的幾何方法來研究的性質。這些性質與長度、角度無關，它們所表現的是圖形整體結構方面的特征。這種性質也就是圖形的所謂拓撲性質。
拓撲學所談論的幾何圖形，不限於現實空間中的形體。如物理學中一個系統的所有可能的狀態組成所謂狀態空間，就是一個廣義的幾何圖形。拓撲學是研究連續性的。變化的連續性，意思是它把鄰近的點變成鄰近的點。因此圖形必須具有某種結構以表現點與點之間的鄰近關系。規定瞭每兩點間的距離並用距離大小來表示鄰近關系的點集稱為度量空間。最簡單的例子是歐氏空間。然而在某些場合未必能規定出合用的距離，因而產生瞭拓撲空間與連續映射的概念（見拓撲空間）。拓撲學中著重研究的是自然科學和數學中最常見的幾類拓撲空間，如流形（光滑曲面的推廣）、復形（多面體的推廣）等（見流形、CW復形、同調論）。
前面所說的幾何圖形的連續變形，確切的含義是同胚。如果映射f：A→B是圖形A的點與圖形B的點之間的一對一的對應，而且f同它的逆映射f-1：B→A都是連續的，就說圖形A與圖形B同胚。這時從拓撲學的觀點看A與B的結構相同，不必加以區別。例如，三角形與圓形同胚；而直線與圓周不同胚，因為直線挖去一點後不連通，而圓周挖去一點後仍連通。
拓撲學的一個典型問題，是問兩個給定的幾何圖形是否同胚；引伸一下，是要把圖形按照同胚與否加以分類，並找出刻畫每一個類的特征。一般的想法是，賦予每個圖形以一些量（廣義的量可以是數，如維數、歐拉數，可以是代數結構，如群、環，也可以是性質，如連通性、緊性），使得同胚的圖形具有相同的量。這樣的量稱為拓撲不變量或同胚不變量（歐拉多面體公式中的數υ、e、f都不是同胚不變量，而歐拉數υ-e+f則是）。拓撲不變量幫助鑒別不同胚的圖形，如球面與環面的歐拉數不同，它們就不同胚。
許多重要的幾何現象，需要用連續映射來描述，因此連續映射也是拓撲學的主要研究對象。一個典型的問題，是問兩個給定的映射是否同倫，即問兩個映射h0，h1：A→B能否用連續地隨時間t改變的一族映射
連結起來。與前相仿，從同倫問題產生瞭同倫不變量的概念。例如，從圓周到圓周的兩個映射是否同倫，決定於它們的“度”（即當動點繞行一周時其像點繞行的圈數）是否相同，“度”就是一個同倫不變量。
發展簡史 拓撲學起初叫形勢分析學，這是G.W.萊佈尼茨1679年提出的名詞(中文譯成形勢，形指一個圖形本身的性質，勢指一個圖形與其子圖形相對的性質，紐結和嵌入問題就是勢的問題)。L.歐拉1736年解決瞭七橋問題，1750年發表瞭多面體公式;C.F.高斯1833年在電動力學中用線積分定義瞭空間中兩條封閉曲線的環繞數。拓撲學這個詞（中文是音譯）是J.B.利斯廷提出的(1847)，源自希臘文
(位置、形勢)與
(學問)。這是萌芽階段。
1851年起，B.黎曼在復函數的研究中提出瞭黎曼面的幾何概念，並且強調，為瞭研究函數、研究積分，就必須研究形勢分析學。從此開始瞭拓撲學的系統研究，黎曼本人解決瞭可定向閉曲面的同胚分類問題。在幾何學的研究中黎曼明確提出n維流形的概念(1854)。
組合拓撲學的奠基人是H.龐加萊。他是在分析學和力學的工作中，特別是關於復函數的單值化和關於微分方程決定的曲線的研究中，引向拓撲學問題的，他的主要興趣在n維流形。在1895～1904年間，他創立瞭用剖分研究流形的基本方法。他引進瞭許多不變量：基本群、同調、貝蒂數、撓系數，並提出瞭具體計算的方法。他探討瞭三維流形的拓撲分類問題，提出瞭著名的龐加萊猜想。他留下的豐富思想影響深遠，但他的方法有時不夠嚴密，過多地依賴幾何直觀。
拓撲學的另一淵源是分析學的嚴密化。實數的嚴格定義推動G.康托爾從1873年起系統地展開瞭歐氏空間中的點集的研究，得出許多拓撲概念，如聚點（極限點）、開集、閉集、稠密性、連通性等。在點集論的思想影響下，分析學中出現瞭泛函數（即函數的函數）的觀念，把函數集看成一種幾何對象並討論其中的極限。這終於導致抽象空間的觀念。這樣，到19、20世紀之交，已經形成瞭組合拓撲學與點集拓撲學這兩個研究方向。
一般拓撲學 最早研究抽象空間的是M.-R.弗雷歇，在1906年引進瞭度量空間的概念。F.豪斯多夫在《集論大綱》（1914）中用開鄰域定義瞭比較一般的拓撲空間，標志著用公理化方法研究連續性的一般拓撲學的產生。隨後波蘭學派和蘇聯學派對拓撲空間的基本性質（分離性、緊性、連通性等）做瞭系統的研究。經過20世紀30年代中期起佈爾巴基學派的補充（一致性空間、仿緊性等）和整理，一般拓撲學趨於成熟，成為第二次世界大戰後數學研究的共同基礎。從其方法和結果對於數學的影響看，緊拓撲空間和完備度量空間的理論是最重要的。緊化問題和度量化問題也得到瞭深入的研究。公理化的一般拓撲學晚近的發展可見一般拓撲學。
歐氏空間中的點集的研究，一直是拓撲學的重要部分，已發展成一般拓撲學與代數拓撲學交匯的領域，也可看作幾何拓撲學的一部分。50年代以來，以R.H.賓為代表的美國學派的工作加深瞭對流形的認識，在四維龐加萊猜想的證明中發揮瞭作用。從皮亞諾曲線引起的維數及連續統的研究，習慣上也看成一般拓撲學的分支。
代數拓撲學 L.E.J.佈勞威爾在1910～1912年間提出瞭用單純映射逼近連續映射的方法，用以證明瞭不同維的歐氏空間不同胚，引進瞭同維流形之間的映射的度以研究同倫分類，並開創瞭不動點理論。他使組合拓撲學在概念精確、論證嚴密方面達到瞭應有的標準，成為引人矚目的學科。緊接著，J.W.亞歷山大1915年證明瞭貝蒂數與撓系數的拓撲不變性。
隨著抽象代數學的興起，1925年左右A.E.諾特提議把組合拓撲學建立在群論的基礎上，在她的影響下H.霍普夫1928年定義瞭同調群。從此組合拓撲學逐步演變成利用抽象代數的方法研究拓撲問題的代數拓撲學。S.艾倫伯格與N.E.斯廷羅德1945年以公理化的方式總結瞭當時的同調論，後寫成《代數拓撲學基礎》(1952)，對於代數拓撲學的傳播、應用和進一步發展起瞭巨大的推動作用。他們把代數拓撲學的基本精神概括為：把拓撲問題轉化為代數問題，通過計算來求解。同調群，以及在30年代引進的上同調環，都是從拓撲到代數的過渡（見同調論）。直到今天，同調論（包括上同調）所提供的不變量仍是拓撲學中最易於計算的，因而也最常用的。
同倫論研究空間的以及映射的同倫分類。W.赫維茨1935～1936年間引進瞭拓撲空間的n維同倫群，其元素是從n維球面到該空間的映射的同倫類，一維同倫群恰是基本群。同倫群提供瞭從拓撲到代數的另一種過渡，其幾何意義比同調群更明顯，但是極難計算。同倫群的計算，特別是球面的同倫群的計算問題刺激瞭拓撲學的發展，產生瞭豐富多彩的理論和方法。1950年J.P.塞爾利用J.勒雷為研究纖維叢的同調論而發展起來的譜序列這個代數工具，在同倫群的計算上取得突破，為其後拓撲學的突飛猛進開辟瞭道路。
從50年代末在代數幾何學和微分拓撲學的影響下產生瞭K理論，解決瞭關於流形的一系列拓撲問題開始，出現瞭好幾種廣義同調論。它們都是從拓撲到代數的過渡，盡管幾何意義各不相同，代數性質卻都與同調或上同調十分相像，是代數拓撲學的有力武器。從理論上也弄清瞭，同調論（普通的和廣義的）本質上是同倫論的一部分。
從微分拓撲學到幾何拓撲學 微分拓撲學是研究微分流形與微分映射的拓撲學。J.-L.拉格朗日、B.黎曼、H.龐加萊早就做過微分流形的研究；隨著代數拓撲學和微分幾何學的進步，在30年代重新興起。H.惠特尼1935年給出瞭微分流形的一般定義，並證明它總能嵌入高維歐氏空間作為光滑的子流形。為瞭研究微分流形上的向量場，他還提出瞭纖維叢的概念，從而使許多幾何問題都與上同調（示性類）和同倫問題聯系起來瞭。
1953年R.托姆的協邊理論(見微分拓撲學)開創瞭微分拓撲學與代數拓撲學並肩躍進的局面，許多困難的微分拓撲問題被化成代數拓撲問題而得到解決，同時也刺激瞭代數拓撲學的進一步發展。1956年J.W.米爾諾發現七維球面上除瞭通常的微分結構之外，還有不同尋常的微分結構。隨後，不能賦以任何微分結構的流形又被人構作出來，這些都顯示拓撲流形、微分流形以及介於其間的分段線性流形這三個范疇有巨大的差別，微分拓撲學也從此被公認為一個獨立的拓撲學分支。1960年S.斯梅爾證明瞭五維以上微分流形的龐加萊猜想。J.W.米爾諾等人發展瞭處理微分流形的基本方法──剜補術，使五維以上流形的分類問題亦逐步趨向代數化。
近些年來，有關流形的研究中，幾何的課題、幾何的方法取得不少進展。突出的領域如流形的上述三大范疇之間的關系以及三維、四維流形的分類。80年代初的重大成果有：證明瞭四維龐加萊猜想，發現四維歐氏空間竟還有不同尋常的微分結構。這種種研究，通常泛稱幾何拓撲學，以強調其幾何色彩，區別於代數味很重的同倫論。
拓撲學與其他學科的關系 連續性與離散性這對矛盾在自然現象與社會現象中普遍存在著，數學也可以粗略地分為連續性的與離散性的兩大門類。拓撲學對於連續性數學自然是帶有根本意義的，對於離散性數學也起著巨大的推進作用。拓撲學的基本內容已經成為現代數學工作者的常識。拓撲學的重要性，體現在它與其他數學分支、其他學科的相互作用。
拓撲學與微分幾何學有著血緣關系，它們在不同的層次上研究流形的性質。為瞭研究黎曼流形上的測地線，H.M.莫爾斯在20世紀20年代建立瞭非退化臨界點理論，把流形上光滑函數的臨界點的指數與流形本身的貝蒂數聯系起來，並發展成大范圍變分法。莫爾斯理論後來又用於拓撲學中，證明瞭典型群的同倫群的博特周期性(這是K理論的基石)，並啟示瞭處理微分流形的剜補術。微分流形、纖維叢、示性類給É.嘉當的整體微分幾何學提供瞭合適的理論框架，也從中獲取瞭強大的動力和豐富的課題。陳省身在40年代引進瞭“陳示性類”，就不但對微分幾何學影響深遠，對拓撲學也十分重要。纖維叢理論和聯絡論一起為理論物理學中楊－米爾斯規范場論（見楊－米爾斯理論）提供瞭現成的數學框架，猶如20世紀初黎曼幾何學對於A.愛因斯坦廣義相對論的作用。規范場的研究又促進瞭四維的微分拓撲學出人意料的進展。
拓撲學對於分析學的現代發展起瞭極大的推動作用。隨著科學技術的發展，需要研究各式各樣的非線性現象，分析學更多地求助於拓撲學。3O年代J.勒雷和J.P.紹德爾把L.E.J.佈勞威爾的不動點定理和映射度理論推廣到巴拿赫空間形成瞭拓撲度理論。後者以及前述的臨界點理論，都已成為研究非線性偏微分方程的標準的工具。微分拓撲學的進步，促進瞭分析學向流形上的分析學(又稱大范圍分析學)發展。在托姆的影響下，微分映射的結構穩定性理論和奇點理論已發展成為重要的分支學科。S.斯梅爾在60年代初開始的微分動力系統的理論，就是流形上的常微分方程論。M.F.阿蒂亞等人60年代初創立瞭微分流形上的橢圓型算子理論。著名的阿蒂亞－辛格指標定理把算子的解析指標與流形的示性類聯系起來，是分析學與拓撲學結合的范例。現代泛函分析的算子代數已與K理論、指標理論、葉狀結構密切相關。在多復變函數論方面，來自代數拓撲的層論已經成為基本工具。
拓撲學的需要大大刺激瞭抽象代數學的發展，並且形成瞭兩個新的代數學分支：同調代數與代數K理論。代數幾何學從50年代以來已經完全改觀。托姆的協邊論直接促使代數簇的黎曼－羅赫定理的產生，後者又促使拓撲K理論的產生。現代代數幾何學已完全使用上同調的語言，代數數論與代數群也在此基礎上取得許多重大成果，例如有關不定方程整數解數目估計的韋伊猜想和莫德爾猜想的證明（見代數數論）。
范疇與函子的觀念，是在概括代數拓撲的方法論時形成的。范疇論已深入數學基礎、代數幾何學等分支（見范疇）；對拓撲學本身也有影響，如拓撲斯的觀念大大拓廣瞭經典的拓撲空間觀念。
在經濟學方面，J.馮·諾伊曼首先把不動點定理用來證明均衡的存在性。在現代數理經濟學中，對於經濟的數學模型，均衡的存在性、性質、計算等根本問題都離不開代數拓撲學、微分拓撲學、大范圍分析的工具。在系統理論、對策論、規劃論、網絡論中拓撲學也都有重要應用。
托姆以微分拓撲學中微分映射的奇點理論為基礎創立瞭突變理論，為從量變到質變的轉化提供各種數學模式。在物理學、化學、生物學、語言學等方面已有不少應用。
除瞭通過各數學分支的間接的影響外，拓撲學的概念和方法對物理學(如液晶結構缺陷的分類)、化學（如分子的拓撲構形）、生物學(如DNA的環繞、拓撲異構酶)都有直接的應用。
拓撲學與各數學領域、各科學領域之間的邊緣性研究方興未艾。
參考書目
江澤涵著：《拓撲學引論》，上海科學技術出版社，上海，1978。
M.A.Armstrong 著，孫以豐譯：《基礎拓撲學》，北京大學出版社，北京，1983。(M.A.Armstrong，basic Topology，McGraw-Hill，London，1979.)
S.Eilenberg and N.Steenrod，Foundations of Algebraic Topology，Princeton Univ. Press，Princeton，1952.
J.L.凱萊著，吳從炘、吳讓泉譯：《一般拓撲學》，科學出版社，北京，1982。(J.L.Kelley，General Topology，Van Nostrand，New York，1955.)