通常稱為雅可比式(Jacobian)。它是以n個n元函數
(1)
的偏導數
為元素的行列式
常記為
事實上，在(1)中函數都連續可微（即偏導數都連續）的前提之下，
J就是函數組(1)的微分形式
的系數矩陣（即
雅可比矩陣）的行列式。
若因變量u1，u2，…，un對自變量x1，x2，…，xn連續可微，而自變量x1，x2，…，xn對新變量r1，r2，…，rn連續可微，則因變量(u1，u2，…，un)也對新變量(r1，r2，…，rn)連續可微，並且
這可用行列式的乘法法則和偏導數的連鎖法則直接驗證。而公式(3)也類似於導數的連鎖法則。偏導數的連鎖法則也有類似的公式；例如，當(
u，
v)對(
x，
y，
z)連續可微，而(
x，
y，
z)對(
r，s，
t)連續可微時，便有
如果(3)中的r能回到u，
，則(3)給出
。
這時必須有
(4)
於是以此為系數行列式的聯立線性方程組(2)中能夠把(
d
x
1，
d
x
2，…，
d
x
n)解出來，作為(
d
u
1，
d
u
2，…，
d
u
n)的函數。而根據隱函數存在定理，在(
u
1，
u
2，…，
u
n)對(
x
1，
x
2，…，
x
n)連續可微的前提下，隻須條件(4)便足以保證(
x
1，
x
2，…，
x
n)也對(
u
1，
u
2，…，
u
n)連續可微，因而(4)必然成立。這樣，連續可微函數組(1)便在雅可比行列式不等於零的條件(4)之下，在每一對相應點
u=(
u
1，
u
2，…，
u
n)與
x=(
x
1，
x
2，…，
x
n)的鄰近范圍內建立起點與點之間的一個一對一的對應關系。
在n=2的情形，以Δx1，Δx2為鄰邊的矩形(ΔR)對應到(u1，u2)平面上的一個曲邊四邊形(ΔS)，其面積ΔS關於Δx1，Δx2的線性主要部分，即面積微分是
這常用於重積分的計算中。
如果在一個連通區域內雅可比行列式處處不為零，它就處處為正或者處處為負（其正負號標志著u-坐標系的旋轉定向是否與x-坐標系的一致）。如果雅可比行列式恒等於零，則函數組(u1，u2，…，un)是函數相關的，其中至少有一個函數是其餘函數的一個連續可微的函數。