一階偏微分方程-百科詞條

　　最簡單的一類偏微分方程。一個未知函數u(x)=u(x₁，x₂，…，x_n)所適適合的一組一階偏微分方程即

， (1)

式中

( R ⁿ之開集)， u是實值函數，

。適合(1)的函數 u稱為其解。

　　單個擬線性方程

　(2)

是式(1)的重要特例。解 u= u( x)定義瞭 D× R中一個曲面，稱為(1)的積分曲面，

是其上一點( x， u)處的法線方向數，( α ₁， α ₂，…， α _n， b))則定義一個方向場，稱為特征方向場。式(2)表明積分曲面在其各點上均與該方向場相切。特征方向場的積分曲線，稱為(2)的特征曲線。它們是常微分方程組(特征方程)

　(3)

的積分曲線。由上所述，可見式(2)的積分曲面是由式(3)的積分曲線織成的。反之，若一曲面 u= u( x)是由(3)之積分曲線織成的，則必為式(2)的積分曲面。因此式(3)的討論對研究偏微分方程(2)有特別的重要意義。

　　式(2)的定解問題中，最重要的是柯西問題，即在U中給定一個n－1維子流形 у及其上的函數φ(x)，要求式(2)的解u=u(x)滿足以下的附加條件（初始條件）：

。　(4)

從幾何上看，集

是 U× R中一個給定的 n－1維子流形，而條件(4)即要求積分曲線(它是 U× R中的一個 n維子流形)通過 Γ。

　　柯西問題的解的局部存在的條件從幾何上看是很清楚的：若在(x₀，u₀)∈Γ附近

，則在該點附近特征向量場微分同胚於平行向量場，特征曲線族則微分同胚於平行直線族。如果 Γ在( x ₀， u ₀)附近橫截（即不平行）於該平行直線族，就可以以 Γ為底，以該平行直線為“母線”作一“柱面”。它就是所求的積分曲面，亦即柯西問題的解。

　　對一般的單個一階非線性偏微分方程

，　(5)

則應以

代替上述的 U× R。對於積分曲面 u= u( x)，它在( x， u( x))處的法線方向由

所確定，因此( x， u， p)決定瞭一個過( x， u)的以

為法線的超平面，即過該點的積分曲面的切超平面。於是，在 U× R中來看，｛( x， u， p)｝給出一個超平面場，每一個這樣的超平面稱為過（ x， u）的接觸元素。對於給定的( x， u)，適合方程(5)的 p不是惟一的，從而有一個接觸元素族。它們的包絡是一個以( x， u)為頂點的錐，稱為蒙日錐。方程(5)的積分曲面在各點均切於過該點的蒙日錐。

　　對於擬線性方程(2)，蒙日錐蛻化為過（x，u）的以

為方向的軸。

　　積分曲面既切於蒙日錐，則必沿某一母線切於它。這條母線的方向給出瞭積分曲面上的一個方向場。對於方程(2)來看，它就是特征方向場。所以在一般的非線性方程(5)，也稱它為特征方向場，其積分曲線也稱為方程(5)的特征曲線。積分曲面仍由特征曲線織成。

　　但是，與方程(2)也有所不同，即現在必須在U×R×Rⁿ中來考慮特征方向場，從而可以得到如下的常微分方程組

， (6)

(7)

(8)

解出這個方程組將得到一個特征帶，它在 U× R中的投影則稱為方程(5)的特征曲線。特征帶是一個在 U× R× R ⁿ中的概念。

　　解柯西問題的特征線法　在解柯西問題(4)時，將у寫成參數形式

(9)

(10)

然而，以它為初始條件還不能解出特征帶的方程組，還需要有 p _j所適合的初始條件。

　　對於擬線性方程(2)，以(9)、(10)為初始條件解特征方程組(3)，可得

(11)

(12)

令

若在 t=0時，即在у上， Δ| _t ₌₀≠0，則可以在| t|充分小時即在у附近由(11)解出

為( x ₁， x ₂，…， x _n)的函數，代入(12)即得柯西問題的解。

　　在以上討論中，條件

(13)

極為重要。它在幾何上表示特征線橫截於 Γ。沒有這種橫截性，一般說來特征曲線不能織成積分曲面，然而若仍可能有解，那麼解稱為奇異解。條件(13)稱為特征條件。

　　對於非線性偏微分方程(5)，需要解出特征帶的方程組(6)、(7)、(8)。這時需要p_j所適合的初始條件。很容易看到，在t=0時，p_j應適合以下條件

，　(14)

。　(15)

(14)、(15)共有 n個方程，它們稱為帶條件。為瞭能從其中解出 p _j，又需要在 t=0時

(16)

在方程(2)的特例下，它就是式(13)。所以式(16)也稱為特征條件。

　　若帶條件和特征條件得以滿足，就將得出在t=0時x_j、u和p_j所適合的初始條件。於是可以得到

，(17)

， (18)

，(19)

　　利用特征條件，可以從式(17)中解出

為( x ₁， x ₂，…， x _n)的函數，代入式(18)即得 u= u( x)為柯西問題的解。代入式(19)得 p _j= p _j( x)，可以證明恰好有

。

　　拉格朗日－查皮特方法　求解柯西問題(5)、(4)的另一方法，是求(5)的含有n個參數α=(α₁，α₂，…，α_n)的解u=u(x，α)。它稱為(5)的完全積分。

　　將(4)所定義的子流形Γ局部地表為

。

再取 α= α(s)使 u= u( x， α(s))經過( x(s)， u(s))而且在該點切於 Γ，即有

這一族解的包絡仍是(5)的積分曲面，而且通過 Γ，亦即所求柯西問題的解。於是，將問題歸結為求(5)的含 n-1個參數s=( s ₁， s ₂，…， s _n _-1)的解 u( x， α(s))，它稱為(5)的通積分。

　　若將完全積分對n個α求包絡，即由

中消去 α，還可得到方程(5)的另一種解，稱為奇異積分。

　　於是問題歸結為如何求完全積分。為此考慮一個與之相關的問題：求函數u=u(x)使之滿足一組偏微分方程

(20)

因為方程個數超過未知數個數，故(20)稱為超定方程組。超定方程組有解，需有一定條件稱為可積性條件。對於(20)，可積性條件為

(21)

( F _j， F _j)稱為泊松括號。若一個方程組適合(21)，則稱之為對合方程組。

　　方程(5)可以化為不顯含u的情形。因為若將u=u(x)寫為隱函數v(x，u)=с，而以v為新的未知函數，則(5)成為

。若視 u為自變量則未知函數 v不顯現。因此可以限於求解以下形式的方程

　(22)

對(22)補充以 n-1個新的方程

(23)

式中 α _j為參數。可以適當取 F ₂， F ₃，…， F _n使(22)、(23)成為對合方程組。再從(22)、(23)中解出：

(其中含常數 α ₂， α ₃，…， α _n)，即可得(5)的含有 n個常數的解（即完全積分）

以上方法稱為拉格朗日-查皮特方法。

　　普法夫方程組、費羅貝尼烏斯條件　在U⊂Rⁿ中若給定瞭一個充分光滑的向量場，則過U之每一點必有其惟一的積分曲線。若給定r(1＜r＜n)個光滑向量場，則不一定經過每一點都有r維子流形使得在其各點上均與這些向量場相切（也不一定能找到n-1維子流形使得在其各點上均與這些向量場相切）。若有這樣的r維子流形存在，就說這些向量場可積，該流形稱為其積分流形。