又稱映照，數學基本概念之一，通常函數概念的推廣。設A和B是兩個非空集（見集合），如果按照某一法則，使A中的任一元素x和B中的某一元素y（可因x而異）相對對應，就稱該規則為一個從A到B的映射。例如A={1，2，3}，B＝｛1，2，3，4｝，那麼，使1和1對應，2和1對應，3和2對應，就得到從A到B的一個映射。又如A為平面上三角形全體，B為平面上圓的全體，那麼，使任一個三角形和它的外接圓相對應，也得到從A到B的一個映射。如果用一個字母，譬如f，來表示某一映射，那麼，映射f將A映到B這一事實可表示為f：A→B，其中A稱為映射f的定義域，記為dom(f)。A中元素x所對應的B中惟一元素y稱為x在映射f之下的像，記為f(x)。對於x∈A，所有和x相對應的y的全體組成B的一個子集，稱為映射f的值域，記為ran(f)。兩個映射f和g，當且僅當它們有相同的定義域，而且對同一的x有相同的像時，才稱為相等。當A，B已知時，也可通過x的像f（x）來表示映射f，寫作x→f(x)（例如x→x2）或y=f(x)(例如y=x2)。特別是，對任何非空集A，映射x→x稱為A到A的恒等映射，記為IA。
若幹定義 設有映射f：A→B，如果B=ran(f)，則稱f是A到B的滿射，或f將A映到B上。如果對於B中的任一個y，至多隻有A中的一個x，使y=f(x)，則稱f是A到B的單射。如果f是A到B的滿射，同時又是單射，則稱f為A到B的雙射或一一對應。例如上面第1例中的映射既非滿射又非單射，第2例中的是滿射但不是單射，第3例x→x2，作為(0，∞)到(0，∞)的映射是雙射。設f為A到B的雙射，那麼，對於B中的任一y存在A中惟一的x，使y=f(x)，這個x稱為y的原像，記為f-1(y)。這樣，當y∈B時，y→f-1(y)就確定瞭B到A的一個映射(它也是雙射)，稱為f的逆映射，記為f-1。顯然有((f-1)-1)=f。設f為A到B的映射，g為B到C的映射，那麼，當x∈A時，可構成g(f(x))，這時x→g（f（x））就確定瞭一個A到C的映射，稱為f與g的復合，記為g。f。復合映射的一個重要性質是，它滿足結合律：
。通過復合還可得到逆映射的一個特征：
f
-1。
f=
I
A，
f。
f
-1=
I
B。在映射定義中的
A，
B可以是任何非空集。如果將
A，
B分別取作直冪
x
n，
Y
m的子集的話，就得到這樣一個映射，它由以下的
m個映射組成
，式中
，設
f：
A→
B為一映射，當
x∈
A時，所有序對〈
x，
f(
x)〉組成的直積
A×
B的子集稱為
f的圖像，它和
x，
y看作坐標時的函數的圖像相當。映射
f可由它的圖像完全確定。這樣就產生瞭直接利用圖像即某種序對的集合，來定義映射的可能性。
關系 一般而論，由序對〈x，y〉組成的非空集R⊂A×B稱為A與B間的一個二元關系(仿此可定三元以至n元關系)。例如｛〈1，1〉，〈2，1〉，〈3，2〉｝（這就是上面第1例中映射圖像）便是一個二元關系的例子。又如x∈A時全體序對〈x，x〉組成的集合給出A上的恒等關系。x，y為實數時，所有滿足條件：x＜y的序對〈x，y〉組成的集合＜給出實數之間的小於關系。x，y為正整數時，所有滿足條件：x能整除y的序對〈x，y〉組成的集合給出正整數之間的整除關系。設R為一二元關系，＜x，y＞∈R，就稱x與y（按照這個次序）處於關系R中，並常寫成xRy（如〈xy〉∈＜寫成x＜y）。R中所有序對的第一坐標組成的集合稱為R的定義域，記為dom(R)；其第二坐標組成的集合稱為R的值域，記為ran(R)。如果R的定義域和值域都是某集合A的子集（也就是R⊂A2），這時稱R為A上的關系（如＜便是實數集上的關系）。如果R中沒有兩個序對，它們的第一坐標相同而第2坐標是相異的，就稱R為單值關系。上面講的A到B的映射f也是一種單值關系，它的定義域為A而值域包含於B。設R為任一關系，把屬於它的所有序對〈x，y〉中x，y的地位互換一下，就得到序對〈y，x〉的集合，其中xRy。這是一個新的關系，稱為R的逆關系，記為R-1。R-1的定義域和值域分別是R的值域和定義域。當R為雙射f時，f-1作為關系的逆也就是作為映射的逆。設R，S為任兩個關系，對於序對〈x，z〉，其中x∈dom(R)，z∈ran(S)若存在y，使得xRy，且ySz，則這種序對的全體（如不空）是一個新的關系，稱為關系R與S的復合，記為S。R。當R為映射f：A→B，S為映射g：B→C時，g。f作為關系的復合也就是作為映射的合。