有限差演算

　　運用符號運算元及其運算規則處理插值、級數求和以及差分方程求解等問題的形式演算方法，也可稱為離散微積分學或有限差分學。

　　運用差分運算的思想出現很早，6世紀，中國隋朝的天文學傢劉焯(544～610)就已能運用二階差分，並在解決日、月不均勻運動問題中，提出瞭等距二次內插公式。有限差的演算方法在B.泰勒的《增量方法》（1717）中已經出現。但其真正奠基人是J.斯特林，他在《微分方法》(1730)中解決瞭大量有限差演算的問題，包括級級數求和等問題。有限差演算的第一部論著是L.歐拉的《微分演算教程》(1755)，他第一個引進差分算子Δ。

　　有限差演算在數值分析、概率統計、運籌學以及電網絡、編碼、計算機軟件等應用科學中廣泛地被應用。

　　函數的差分　設h為一正的常數，則實變量函數f(x)的增量f(x+h)-f(x)定義為f(x)在x處的一階差分，h為步長，記為 Δf(x)=f(x+h)-f(x)。一階差分Δf(x)也是x的函數，故它的增量Δf(x+h)-Δf(x)可定義為f(x)在x處的二階差分，記為Δ²f(x)=Δ(Δf(x))=Δf(x+h)-Δf(x)，類似地，可以定義f(x)在x處的n階差分為

，

式中 n為自然數，Δ ⁰ f( x)= f( x)。上述定義中算子Δ稱為向前差分算子，簡稱差分算子，在實際應用中，對函數 f( x)隻要求定義在等距離散點列{ x _k}( k=0，±1，±2，…)上即可。

　　差分算子 Δ 具有以下的性質：①常數的差分為零，即ΔC＝0，其中C為常數；②差分算子是線性算子，即

其中 C ₁， C ₂為常數；③若 r，s是非負整數，則 ＝ 或記為 ④若 f( x)是 n次多項式，則Δ ^k f( x)(0≤ k≤ n)是 n－ k次多項式，並且當 k＞ n時，Δ ^k f( x)＝0；⑤乘積的差分滿足關系式Δ( f( x)· g( x))= f( x)Δ g( x)+ g( x+ h)Δ f( x)。

　　幾種常用算子及其相互關系　

　　不變算子I 作用於函數f(x)時有If(x)=f(x)。

　　移位算子E 表示把函數的自變量加上一個步長h，即Ef(x)=f(x+h)，一般的情形，如果t為任一實數，則E^tf(x)＝f(x+th)，當t=0時，E⁰f(x)=f(x)，亦即E⁰＝I。由E的定義可得

因此，移位算子 墻與差分算子Δ有關系式

，

　　微分算子D　作用於函數f(x)時有Df(x)=f′(x)，按照形式演算的觀點，由泰勒展開式及上述符號算子的定義，有等式

因此，移位算子E與微分算子D有關系式

　　向後差分算子▽

　　中心差分算子δ

　　平均算子μ　

由符號算子的定義及形式冪級數展開，還可以得到如下的關系式：

　　符號算子的演算實例　利用前述的符號算子間的關系以及這些算子的形式冪級數展開進行形式上的演算，可以推演出許多基本公式，特別在推導插值公式、數值微分公式、數值積分公式中很有用，下面列舉幾個重要的實例。

　　① 由於

故

將這個等式兩邊的算子分別作用於 f(0)，得到

這就是高階差分公式。

　　② 已知E=I+Δ，設t為實數，則有

將此作用於 f( x)，得到

這就是牛頓插值公式。

　　③ 由於

故有

同理可得

它們分別稱為格雷果裡－馬爾可夫第一微分公式與第二微分公式。

　　④ 為使收斂緩慢的交錯級數加速收斂，通常使用歐拉變換。這個十分有用的級數變換可以利用符號算子的形式演算導出：

　 利用符號算子的形式演算還可以推得其他一些公式，例如分部求和公式等。

　　盡管符號算子演算規則能夠幫助人們得到許多重要的公式，但它並不指出這些公式成立的條件及有效適用的范圍，運用這些公式作近似計算時，也並不給出餘項（誤差）估計。因此，這種演算的主要意義在於幫助人們去推導和記憶一些有用的結果，但是並不能用它來進行論證。

　　

參考書目

　L.M.Milne-Thomson，The calculus of Finite Differences，Macmillan，London，1951.