函數逼近論中的一個重要研究課題。早在19世紀末和20世紀初，∏.Л.切比雪夫及C.de la瓦萊·普桑就開始研究實軸上有界區間整個實軸上有理函數的最佳逼近問題，研究瞭有理函數最佳逼近的存在性，惟一性以及交錯點定理。以後，С.Η.伯恩斯坦、A.И.阿希耶澤爾及E.И.佐洛塔廖夫等應用切比雪夫理論解決瞭一系列具體函數用有理函數的最佳逼近問題。特別是左洛塔廖夫研究瞭在二個不同區間上具體函數的有理函數最佳逼近問題，這在濾波理論上有重要的應用。以後，在Α.Η.柯爾莫莫哥洛夫和C.H.梅爾捷良等影響下，A.A.貢恰爾、Ε.∏.多爾任科、A.∏.佈拉諾夫、∏.∏.彼得魯曉夫等作瞭很多深刻的研究。特別地，在50年代開始，他們對逼近的反問題，即從有理函數最佳逼近值趨向於零的速度來研究逼近函數的結構性質方面作瞭一系列的研究。以後在正問題上，即從函數的結構性質來研究有理函數最佳逼近階的估計以及在研究有理函數最佳逼近值與多項式逼近值之間的關系與差別方面也得到瞭不少重要的結果。應該指出，在正問題方面，D.J.紐曼在1964年跨出瞭關鍵性的一步，他指出對│x│用n次有理函數逼近得到的階的估計為
，大大地超過用
n次多項式逼近的階
。以後，匈牙利學者P.圖蘭、G.弗洛伊德等也作出瞭很多重要的研究。
設[α，b]為實軸上的閉區間（有窮或無窮），f(x)是[α，b]上的實值連續函數，令
，
界是對於所有分子為
n次、分母為
m次的多項式之比的有理函數
Q
n
，
m(
x)取的。當
n=
m時，記
，稱它為
f(
x)在[
α，
b]上用
n次有理函數逼近時的最佳逼近值。若
m＝0，
Q
n(
x)就是
n次多項式，此時將
R
n(
f;[
α，
b])記作
E
n(
f;[
α，
b)])，稱它為
f(
x)在[
α，
b]上用
n次多項式
Q
n(
x)逼近時的最佳逼近值。
1964年紐曼所得到的結果為：
，
式中
，
而
且對於任意的偶有理函數
Q
n(
x)，有
。由此看出，用
n次有理函數逼近│
x│時，逼近的階比用
n次多項式逼近時好得多。
圖蘭在1966年指出，有理函數rn(x)的極點對稱地分佈在虛軸上，記作iyn，則
，它很快地趨向於原點。正是由於這個原因，盡管函數│
x│在
x=0處的性質不太好，但是由於這裡所取的有理函數的極點的極限點正是
x=0這一點，因此在某種意義下消除瞭其“奇性”，得到瞭較好的結果。
紐曼還對一般的函數類應用他的方法及結果，得到有理函數逼近階的估計。後來，貢恰爾、佈拉諾夫、∏.∏.維亞切斯拉沃夫等先後對紐曼結果作出瞭進一步的改進。此外，也對其他特殊函數研究有理函數最佳逼近值的上、下界估計。
對於其他一般的函數類也有很多研究，如彼得魯曉夫得到下列二個重要的結果：
① 設f(l)(x)是[0，1]上的凸函數，則
；
②設f(l+1)(x)是[0，1]上的有界變差函數，則上式也成立。當函數f(x)是區間上的分段解析函數時，也有類似於上面的估計。
此外，還有不少研究解析函數的有理函數最佳逼近問題的工作。例如，1978年B.H.羅薩克得到一個結果。設函數f(z)在|z|＜1解析，在|z|≤1上連續且在|z|=1上分段(共有m段)解析，則可以找到具有極點在│z│>1中的n次有理函數Qn(z)，使
。若
f
(
z)具有有界變差，則有
。
對於反問題，用有理函數逼近與用多項式逼近所得到的結論可以是完全不同的。例如，C.H.伯恩斯坦早就證明：若
，則
f(
x)可以從[-1，1]解析開拓到以±1為焦點，長短半軸之和為
R的橢圓中去。但是對於有理函數逼近，情況可以完全不同，不管
R
n(
f;[-1，1])以多麼快的速度趨向於零，仍然不能保證
f(
x)在[-1，1]上有很好的結構性質，更談不上具有解析性質瞭。必須除去一個例外集，
f(
x)才有較好的結構性質。有人還將這些結果推廣到復數域中去。
如果想要從有理函數逼近的速度來推出函數在整個逼近的區間上被逼近函數的性質，就還需要給出有理函數極點分佈的情況。這實際上也與給定極點有理函數逼近的逆定理有關瞭。