求解微分方程，特別是橢圓型邊值問題的一種離散化方法，其基礎是變分原理和剖分逼近。有限元方法是傳統的裏茨－加廖金方法的發展，並融會瞭差分法的優點，處理上統一，適應能力強，已廣泛應用於科學與工程中龐大複雜的計算問題。
作為有限元方法出發點的變分原理，是表達物理基本定律的一種普遍形式。其表述可概括如下：給出一個依賴物理狀態v的變數J(
典型問題 為具體說明有限元方法，討論二維有界域Ω上的橢圓型方程
， (1)
變系數
β表示介質不均勻。物理學中許多平衡態或定常態問題都可歸結為這個典型方程。與方程(1)相配的有如下三類邊界條件：
第一類：
；
第二類：
；
第三類：
。這裡的
φ、
g及α均為定義在邊界д
Ω上的已知函數，
表示外法向導數，第二類邊界條件是第三類當 α=0時的特例。
為說明有限元方法能統一處理復雜的情況，假定討論的問題是混合邊值，並且介質有間斷，即дΩ分成Г0和Г1兩部分，分別有邊界條件
， (2)
， (3)
β（
x，
y)有間斷線，把
Ω分為
Ω
-，
Ω
+兩部分，在間斷線上微分方程(1)無定義，而代之以接觸條件
， (4)
及
表示間斷線上分別指向
Ω
+及
Ω
-的法向導數。
變分原理 與微分方程(1)及附加條件(2)、(3)、(4)的邊值問題相對應的是物理學中的極小能量原理。構造“能量積分”
並取
J(
v)的容許函數集
V為一切滿足邊界條件(2)且一階偏導數平方可積的函數，則使
J(
v)達到極小值的
u，即
， (6)
也必滿足方程(1)及(2)、(3)、(4)。事實上，極小能量原理之類的變分原理是物理問題的原始形式，微分方程是數學推導的結果。在變分問題中，隻有邊界條件(2)是強加到容許函數集上的，邊界條件(3)及間斷介質的接觸條件(4)都是極小解
u自然滿足的，這種情況有利於離散化的統一處理。
剖分逼近 幾何剖分的基本單元可取為三角形、矩形、四邊形、曲邊形等等，其中三角形最基本常用。
假定問題的求解區域為多邊形，介質間斷線為折線，作三角剖分如圖
所示。在剖分中需註意介質間斷線與某些三角形的邊重合，不同類邊界條件的交點與某些三角形的頂點重合。單元的頂點稱為網格結點，在д
Ω上稱邊界結點，在
Ω內稱內結點。
幾何剖分之後考慮插值逼近。對三角形單元最簡單的是線性插值，即利用每個單元Δk三頂點的函數值確定線性函數αkx+bky+сk的三個系數。把所有單元{Δk}確定的{αkx+bky+сk}合在一起，就得到Ω上的一個分片線性插值函數。Г0上的邊界結點取值為零的分片線性插值函數都屬於問題(5)、(6)的容許函數集V，全體這樣的函數構成一個有限維線性空間
，稱為有限元空間。假定內結點和Г
1上的邊界結點共有
N個，以
p
j(
j=1，…，
N)表示，則
的維數就是
N
o令
φ
i表示
中滿足條件
(7)
的成員，則{
φ
i}構成線性空間
的一組基。
中任意函數
v，都可表為
， (8)
V
j是結點
p
j上的函數值
v(
p
j)。
單元上的插值方式除瞭用一次函數外，還可以用二次、三次或更高次的多項式，也可用非多項式函數。插值數據除瞭用函數值的拉格朗日型外，還可以是包括導數的埃爾米特型插值。種種的幾何剖分加上種種的插值方式，就產生眾多形式的有限元空間，使有限元方法可有眾多的選擇。
有限元的離散化 有限元離散化的出發點是與微分方程等價的變分問題。對於典型問題來說，就是從(5)、(6)出發，用剖分逼近的方法構造有限元空間
（也稱試探函數空間），然後求泛函
J(
v)在
中的極小解ũ 作為近似解，即ũ滿足
， (9)
把(8)的表達公式
代入(5)中的
J(
v)，得
， (10)
式中
， (11)
， (12)
把(9)的極小解表為
，則(
U
1，
U
2，…，
U
N)使二次函數(10)達到極小，由微分學知滿足線性方程組
。 (13)
方程組(13)來自正定二次函數的極小解問題，故系數矩陣一定對稱正定。由於基函數
φ
i隻在以
p
i為頂點的單元上不為零，故系數
α
ij=
隻當結點
p
i與
p
j連成三角形一邊時才不為零。系數矩陣這種稀疏性質，加上對稱正定，對方程的求解很有利。
系數
以及自由項
的實際計算，通常按所謂單元分析與總體合成的方式進行。即逐個分析
Ω內的單元和Г
1上的單元邊對有關的
α
iz及
f
i的貢獻，然後往上迭加。當
Ω內所有單元及Г
1上所有單元邊都分析之後，方程組(13)的系數矩陣及自由項也就合成出來。間斷介質的影響反映在單元分析中被積函數的
β在
Ω
+及
Ω
-取不同的表達式。單元分析通常都采用某種數值積分公式計算。
從虛功原理出發的離散化 微分方程邊值問題(1)、(2)、(3)、(4)的解u還同時滿足：對容許函數集V中任一函數v，成立
， (14)
這裡
α(
u，
v)及
F(
v)即表達式(11)、(12)。在物理學中，方程（14）是另一變分原理的數學形式，稱為虛功原理或虛位移原理。有限元方法更一般的形式是從虛功方程(14)出發用剖分插值的方式構造一個試探函數空間
，並同時構造一個檢驗函數空間
ψ；在
中尋找近似解
ũ，使之對
ψ中的任一函數
ψ，成立
， (15)
當選取
ψ與
相同時，(15)中的
ψ可選為基函數
φ
i，同時用
代入，就得到方程組(13)。
對於非自共軛橢圓算子L，微分方程邊值問題Lu=f不存在等價的極小值問題，但這時仍可建立虛功方程(14)，其中α(u，v)=(Lu，v)F)=(f，v)，(·，·)表示L2(Ω)的內積。因此，有限元方法仍然有效。
從極小能量原理出發進行離散化又常稱為裡茨法，從虛功原理出發稱為加廖金法。後者是前者的推廣。
評價 傳統的裡茨－加廖金方法，采取解析函數作為試探函數，不能滿足任意多邊形區域的邊界條件，也不適應間斷介質的要求，對現在的典型例子無能為力。差分方法雖然能夠對付，但由於它對方程(1)及條件(2)、(3)、(4)在處理上不統一，在計算效果及理論分析兩方面都帶來不利。有限元方法正好對這兩者揚長避短，一方面保持瞭裡茨－加廖金方法從變分原理出發的優點，在提法上有極大的概括性，給離散化帶來統一處理的方便；另一方面又吸收瞭差分法剖分逼近的優點，能靈活適應各種幾何形狀和間斷介質等復雜情況。有限元方法除瞭解題效能高強外，還有牢靠的理論基礎，是計算數學理論一大成就。
回顧與展望 有限元方法在中國與西方從不同的實踐背景，沿著不同的學術道路、各自獨立平行地發展起來。在西方，有限元思想在R.庫朗1943年的一篇論文中明確地提出過，但一直沒有受到重視。20世紀50年代中期，歐美工程界J.H.阿吉裡斯、R.W.克拉夫等以航空工程為背景，在結構分析和矩陣方法基礎上提出瞭結構有限元的雛形。60年代初期，引進連續體的單元剖分；60年代中期，逐漸明確有限元法是變分原理加剖分逼近的思想。1968年，西方數學傢對有限元法進行數學的理論分析，開始瞭有限元法在計算數學中的黃金時代。
在中國，60年代初期，馮康、黃鴻慈等結合解決一系列大型水壩建設的應力分析問題，開展瞭橢圓型邊值問題數值解的系統研究，為克服問題傳統提法中的幾何復雜性和材料復雜性，把能量法與差分法結合在一起，於1964年建立瞭求解橢圓型邊值問題一套普遍有效的方法，命名為基於變分原理的差分方法，即通稱的有限元方法。與此同時，建立瞭方法的數學理論基礎。而後20年中，周天孝、唐立民對混合元擬協調元的發展，應隆安等對無限元的發展，馮康等對邊界有限元的發展，石鐘慈對非協調元的發展，林群對有限元外推理論的發展，都作瞭重要貢獻。
有限元方法對於定常態問題的計算已經獲得公認的巨大成功，對不定常態問題也有良好開展。有限元方法是一個發展著的體系，在前述的基本原則下可有種種變化和發展，特別是可和其他方法結合起來，進一步解決更困難更復雜的數學問題。
參考書目
馮康、石鐘慈著：《彈性結構的數學理論》，科學出版社，北京，1981。
G.斯特朗、G.J.菲克斯同著，崔俊芝、宮著銘譯：《有限元分析》，科學出版社，北京，1983。(G.Strang and G.J.Fix，An Analysis of the Finite Element Method，Prentice-Hall，Englewood Cliffs，New Jersey，1973.)
P.G.Ciarlet，The Finite Element Method for Elliptic Problems，North-Holland，Amsterdam，1978.
O.C.Zienkiewicz，The Finite Element Method，3rded.，McGraw-Hill，London，1977.