歐幾裏得平面上圓周與直徑的長度之比。它是人類認識到的第一個特殊常數，是人類在測量圓周長和圓面積的各種情況中逐步認識的。古希臘歐幾裏得的《幾何原本》中已提到圓周率是常數。中國古代早有“徑一週三”的記載，即認為圓周率是常數瞭。自1737年L.歐拉用π表示圓周率後，π就成為一個通用符號。此後也通用由圓半徑r和圓周率π求圓周長的公式：C=2πr。。關於圓面積與圓周率的關系人類也很早就知道瞭。中國古代數學專著《九章算術》第一章《方田》中求圓田面積，“術曰：半圓半徑相乘得積步”。即以半圓周πr和半徑r為長和寬的矩形面積就是所求的圓面積S，這正是圓面積公式S=πr2。

　　圓周率的古典方法和古代值　數學史上曾采用過圓周率π的各種近似值，現存於世的有關圓周率的最早文字記載是公元前1650年左右在古埃及產生的萊因德紙草書，其中取

。這看來是一個經驗值。古希臘阿基米德約在公元前240年從計算圓內接和外切正多邊形周長來確定圓周率的上下界。這是第一個計算π值的方法，後人稱為古典方法。 阿基米德從正6邊形開始，逐步計算到正96邊形周長而得到 。他取兩位小數確定 π=3.14。約公元150年，C.托勒密在《數學匯編》中給出 。這是從該書中記載的圓心角所對弦的長度推算出來的。印度數學傢阿耶波多第一約在530年采用π＝3.1416，這可能是從希臘傳入的，也可能是他計算瞭正384邊形的周長。1150年前後， 婆什迦羅第二給出 π的常用值 ，“非準確值” ，“準確值” ，他還給出與托勒密相同的另一個π的值 。阿拉伯的 卡西約在1427年在他的《圓周論》中計算正3× 2 28邊形周長得出精確到17位數字的π=3.1415926535898732。

　　中國古代《九章算術》正文用“徑一周三”的古率。西漢末劉歆為王莽造銅斛(公元9年)采用π＝3.1547。東漢張衡(78～139)采用

計算球體積。三國吳人王蕃（215～257)采用 。這些都是經驗值。魏人 劉徽在註《九章算術》時提出與阿基米德古典方法相類的“割圓術”。他從圓內接正6邊形周長是直徑的3倍開始，依次割圓，成倍增長內接正多邊形的邊數。求得內接正 2 n邊形邊長 l 與圓半徑 r及內接正 n邊形邊長 l n的關系：

他還得出圓面積 S和圓內接正 n邊形面積 S n，正 2 n邊形面積 S 2n滿足下列不等式：

。

由此得到圓周率的上下界。他取半徑為1尺，由圓內接正6邊形面積開始，逐步算得正96邊形和正192邊形面積為

。

因此，取 n=96，有

。

劉徽“棄其餘分”，取π＝3.14。他還說：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓合體而無所失矣。”這說明他已知求更精確的 π值的方法，並具有極限的思想。劉徽之後尚有皮延宗在445年前後取π＝22/7。南北朝時的 祖沖之提出圓周率精確到8位數字的上下界：3.1415926＜π＜3.1415927。他還提出圓周率的“約率”π=22/7和“密率”π=355/113。後者在數學史上是由他第一個提出的。上面提到的卡西在800多年後才做出超過他的工作。

　　在西歐，文藝復興後，才有人在圓周率π值上做出達到和超過祖沖之的工作。第一個得到祖沖之密率355/113的是德國人V.奧托(1573)。法國F.韋達用古典方法計算到正3×217邊形求π值到10位數字(1579)。荷蘭L.范.科倫在1596年求到小數點後20位，才超過卡西。

　　圓周率是無理數和超越數　J.H.朗伯在1767年證明圓周率π是無理數，即不能表示成有理分數，因而不會是有限小數或循環小數。F.von林德曼在1882年證明π是超越數，即不是任何一元有理系數多項式的根。從而解決瞭古代三大幾何難題之一──化圓為方不可能用尺規作圖作出。

　　圓周率和角的弧度制　歐拉在1748年出版的《無窮小分析引論》中提出三角函數是對應的函數線與圓半徑的比。他同時引入角的弧度制，即取圓半徑作為單位，圓心角用其所對的弧長表示。這時平角所對的半圓周長是π。從此以後圓周率π就作為相當於180°的角度值。

　　圓周率的其他方法和近代值　韋達在1593年把

表示成無窮乘積 　　　　

英國 J.沃利斯在1655年給出

，

1658年由W.佈龍克把它變成連分數

，

朗伯特就是利用它證明 π是無理數的。蘇格蘭 J.格雷果裡在1671年得出無窮級數

G.W.萊佈尼茨在1673年由此得出收斂極慢的級數

J.梅欽利用格雷果裡級數的公式

計算π值到100位小數（1706）。W.香克斯在1873年利用梅欽公式計算π值到707位小數，以後長期保持這個記錄。但在1946年D.F.弗格森發現香克斯的第528位錯瞭。他後來和美國J.W.小雷恩在1948年聯合發表808位準確的π值。

　　電子計算機發明以後，π值的計算得到飛速的發展。在1949年計算到2037位，1959年計算到16167位，1967年計算到50萬位，1974年計算到100萬位，1981年計算到200萬位，1983年計算到223（800多萬）位。

　　

參考書目

　李儼、杜石然著：《中國古代數學簡史》，第1版，中華書局，北京，1963。

　梁宗巨著：《世界數學史簡編》，第1版，遼寧人民出版社，沈陽，1980。

　H.Eves，Introduction to the History of Mathematics，5th ed.，Saunders College Pub.，Philadelphia，1981.

　D.E.Smith，History of Mathematics，Dover，NewYork，1958.