整個複平面C內全純的函數。根據外爾斯特拉斯，K.（T.W.）的觀點，一個整函數f(z)以任一點為中心的冪級數展式在整個複平面內收斂，因此無需進行解析開拓此展式即在整個C內代表此函數，並且顯然是單值的。若整函數表示式
中隻有有限多個非零系數，則
為一多項式，它是整函數的特殊情形，當
p=0時，無窮遠點是它的可去奇點；當
p＞0時，無窮遠點是它的極點。若冪級數表示式中有無窮多個非零系數，則
f(
z)為一超越整函數，它能看作是多項式的推廣，無窮遠點是它的本性奇點。例如，
是超越整函數。
整函數的因子分解 這是多項式因子分解定理在整函數中的推廣，它首先由外爾斯特拉斯於1876年所建立。多項式最基本的性質（代數基本定理）是：p次多項式在復平面內恰有p個根（按重級計算）。多項式的次數p還給出函數模當z→∞時增長速度的量度，即有
。
根據上述代數基本定理，每一多項式有惟一的乘積表示，亦稱因子分解，即
式中
α為常數，{
z
k}為零點，{α
k}為相應的重數。上面的表示式將多項式的零點位置和相應的重數明顯地表示出來；反之，總能構造一多項式使得它具有預先給定的零點和重數，它表為乘積的形式，且除去一個常數因子外是確定的。對一般整函數能夠提出相同的問題，但與多項式的情形有很大的差別。例如，若
f(
z)有無窮多個零點{
z
n}，設
z
n≠0，但
不一定是收斂的，它的值可能依賴於因子的排列順序；再者，存在不取零值的整函數，所以整函數的零點還不能象多項式一樣可以決定它的基本性質。為瞭保證無窮乘積收斂，須對每個因子進行適當的修改，外爾斯特拉斯定義初等因子
並且有下述定理。
外爾斯特拉斯第一定理 設：
為整函數
f(
z)的非零的零點，且滿足
，又設
，為正整數列，使得級數
對任一
r為收斂，則無窮乘積
(1)
對任意
z絕對收斂，此時
， (2)
式中
g(
z)為另一整函數；
m為某個非負整數。
值得註意的是這裡{pn}總是存在的，但不確定，因為任何更大的數列都能代替它。此外e
亦不確定，且能任意快地增長。為瞭區分整函數的不同類，E.N.拉蓋爾（1882）引進瞭格的概念，在某種意義下它類似於多項式的次數。設存在一數
λ＞0，使得
收斂，則有一最小的整數
k≥0，使得
收斂。這時稱
為關於{
z
n}的典型乘積，
k稱為它的格。此典型乘積是惟一確定的。若進一步假設(2)中的
g(
z)是
q次多項式，則稱
p=Max{
k，
q}為
f(
z)的格。
龐加萊定理和阿達馬定理 1883年（J.-）H.龐加萊指出整函數的模與其格的關系，並建立瞭下述定理。
龐加萊定理 若整函數f(z)的格為p(＜+∞)，則
，
式中
M(
r，
f)是
f(
z)在│
z│=
r上的最大模。
與此相反的問題是由函數f(z)的最大模的某種界來作出函數零點數的某種上界的估計，它由J.（-S.）阿達馬於1896年所得到。由(F.-É.-J.-) É.波萊爾1897年所引入的函數增長級的概念能作為量度函數最大模增長速度的特征量，它在整函數理論中起著重要的作用，它定義為
。
註意到
f(
z)-
α與
f(
z)具有相同的級，於是阿達馬定理可以表述如下：
設f(z)為有窮ρ級整函數，n(r，α)表示f(z)-α在│z│≤r內的零點數（按重數計算），則
19世紀末波萊爾綜合和改進瞭(C.-)É.皮卡、龐加萊和阿達馬的結果，開始形成瞭整函數值分佈論（見函數值分佈論）。
參考書目
G.Valiron，Lectures on the General Theory of Integral Functions，Toulouse，Edouard Privat，1923.