微分拓撲的一個重要分支。通常是指兩部分內容：一部分是微分流形上可微函數的莫爾斯理論，即臨界點理論；另一部分是變分問題的莫爾斯理論，即大範圍變分法。確切地說，假設f是n維微分流形M上的實值可微函數，f的臨界點p是指梯度向量場gradf的零點，即在局部坐標下使得
的點。
f的全部臨界點的性態與流形
M本身的拓撲結構有密切的關系，探索這些關系就是臨界點理論的主要任務。例如，著名的莫爾斯不等式就是這樣一種關系：
M0≥R0
M1-M0≥R1-R0，
……
Mk-Mk-1+…±M0≥Rk-Rk-1+…±R0，
……
Mn-Mn-1+…±M0=Rn-Rn-1+…±R0，
式中 R k是 n維閉流形 M的 k維模2貝蒂數，即同調群 h k( M， Z 2)的秩， M k是 M上非退化函數 f的指數為 k的臨界點的個數。這裡說 f是非退化函數，是指 f的任何臨界點 p均非退化，即在局部坐標下 f在 p處的黑塞矩陣
之秩為
n；這個矩陣的負特征值的個數稱為臨界點
p的指數。莫爾斯不等式是H.M.莫爾斯本人在20世紀20年代建立的基本結果，後來有瞭遠為一般的結果。例如，考慮圖
1
中環面
M關於水平切面
V的高度函數
f：
M→
R，其中
p，
q，
r，
s是
f的四個非退化臨界點，其指數分別為0，1，1，2，因為可以適當選擇局部坐標，使得在
p的鄰近
f=
f(
p)+
x
2+
y
2(旋轉拋物面)，在
q的鄰近
f=
f(
q)-
x
2+
y
2(鞍面)，在
r的鄰近
f=
f(
r)-
x
2+
y
2（鞍面），在
s的鄰近
f=
f(
s)-
x
2-
y
2(旋轉拋物面)。命
不難看出，當
α由小變大經過各個臨界值時，
M
α的同倫型發生表
中所列的變化。
可見，當α從小變大經過指數為λ的臨界點時，Mα的同倫型變化相當於粘上一個λ維胞腔，從而整個環面M的同倫型相當於由一個0維胞腔、兩個一維胞腔以及一個二維胞腔組成的CW復形，這樣就把M的同倫型與f的臨界點的性態聯系起來瞭。如果把這個事實推廣到一般情形就是：
臨界點理論的基本定理 命M是微分流形，f：M→B是非退化函數，並且任何Mα都是緊致集。於是，每個Mα都具有一個有限CW復形的同倫型，從而整個M具有一個至多是可數的CW復形的同倫型：對於指數為λ的每個臨界點，這個復形有一個λ維胞腔。
臨界點理論的應用中最完美的是對測地線問題的應用，這就是變分學的莫爾斯理論。例如，考慮完備黎曼流形M上兩個固定端點p和q之間的測地線問題，即是使弧長為極小的變分問題：
式中
ω：[0，1]→
M表示
M上的逐段光滑道路，
ω(0)=
p，
ω(1)=
q；這個變分問題的泛極線就是所謂測地線。於是，從
p到
q的所有光滑測地線的性態與流形
M的拓撲結構之間是否有什麼關系，這就是大范圍變分學要研究的主要問題，可以應用臨界點理論的框架得到相似的結果。命
Ω=
Ω(
M；
p，
q)表示
M上從
p到
q所有逐段光滑道路組成的空間，具有尺度拓撲。
式中ρ 表示
M上由黎曼尺度導出的距離函數；
表示
ω上的弧長。
大范圍變分學基本定理 命M是完備黎曼流形，p，q∈M沿任何測地線不共軛，則Ω(M；p，q)具有可數CW復形的同倫型：對於從p到q每條指數為λ的測地線，這個復形有一個λ維胞腔。
隨著拓撲學的發展，莫爾斯理論本身也有很大的飛躍。例如，由於臨界點定義為梯度向量場gradf的零點，自然可以考慮n維閉流形M上一般向量場X的零點與M的拓撲結構之間的關系，即M上的動力系統
的奇點與
M的拓撲結構的關系。S.斯梅爾在某些假設下得到瞭形式相同的莫爾斯不等式，不過這時
M
k=
α
k+
b
k+
b
k+1，
α
k表示向量場
X的
k型零點的個數，
b
k表示
k型閉軌線的條數。斯梅爾正是在這個基礎上完成瞭他關於高維龐加萊猜想的卓越工作，這是微分拓撲學的重大成就之一。其次，由於測地線問題是一維變分問題，本來是無限維的空間
Ω才能化為有限維流形應用臨界點理論來處理。但一般的多維變分問題就無法做到這一點，因而要求發展無限維流形上的臨界點理論，直接處理相應的無限維空間
Ω，從而把原來的兩個方面統一起來。
參考書目
J.Milnor 著，江嘉禾譯：Morse理論，《數學譯林》，北京，1980～1981。(J.Milnor，Morse Theory，Ann.Math.Studies，Princeton Univ.Press，Princeton，1963.)
H.賽弗爾、W.施雷法著，江嘉禾譯：《大范圍變分學》，上海科學技術出版社，上海，1963。(H.Seifert und W.Threlfall，variationsrechnung im Grossen，Chelsea Pub.Co.，1948.)
S.Smale，Morse Inequalities for a Dynamical Systems，Bull.Amer.Math.Soc.，Vol.66，pp.43～49，1960.
R.S.Palais，Morse Theory on Hibert Manifolds，Topology，Vol.2，pp.299～340，1963.
R.S.Palais and S.Smale，A Generalized MorseTheory，Bull.Amer.Math.Soc.，Vol.70，pp.165～172，1964.