多重線性代數

　　線性代數的一個分支。它以建立在若幹個線性空間的笛卡兒積上的各種多重線性的代數結構，例如張量代數、外代數、柯利弗德代數等為研究物件。多重線性代數在量子力學、群表示論、幾何學、偏微分方程等學科中已有重要的應用。

　　設V₁，V₂，…，V_r與L都是域F上的線性空間，x_j在V_j中，j=1，2，…，r。由全體有序r元組(x₁，x₂，…，x_r)組成的集合，稱為V₁，V₂，…，V_r的笛卡兒積，記作V₁×V₂×…×V_r。

　　若φ：V₁×V₂×…×V_r→L關於每一個變元都是線性的，即對於j=1，2，…，r都有

式中 ； ， ，則 φ稱為從 V ₁× V ₂×…× V _r到 L的 r重線性映射。 r=2時， φ稱為雙線性映射； r≥3時， φ統稱為多重線性映射。當 L＝ F時，則 φ稱為 r重線性函數。

　　線性空間的張量積　若V₁、V₂都是域F上的線性空間，對V₁中的每一個基元素e_i與V₂中的每一個基元素f_j定義一個積，記為e_i圱f_j，要求這個積是雙線性的，即對e_i與f_j都是線性的。這些積線性生成F上的一個線性空間，稱為V₁與V₂的張量積，記為V₁圱V₂。也可以按如下的辦法用商空間的語言來具體地描述它。令

， V為 V生成的自由向量空間，即

。在這裡， V中的元素都是 V的基元素，因此 V與 V的運算不同。 N由 V中形如( α ₁ x ₁+ b ₁ y ₁， x ₂)- α ₁( x ₁， x ₂)- b ₁( y ₁， x ₂)與( x ₁， α ₂ x ₂+ b ₂ y ₂)- α ₂( x ₁， x ₂)- b ₂( x ₁， y ₂)的元素全體線性生成，式中 x _j， y _j在 V _j中， α ₁、 α ₂、 b ₁、 b ₂在 F中，則 N是 V的子空間。作商空間 。由 π x= x+ N定義的映射 π： V→ V/ N，是一個線性同態，稱之為 V到 V/ N的標準(自然)同態。 V/ N稱為 V ₁與 V ₂的張量積，記為 V ₁圱 V ₂。而將 π（ x ₁， x ₂）記為 x ₁圱 x ₂，讀作“ x ₁與 x ₂的張量積”。 x ₁圱 x ₂生成 V ₁圱 V ₂，其運算圱滿足如下關系： x _j， y _j均在 V _j中， j=1，2； α在 F中，

， ， = 。因此，由 定義的 φ：

是雙線性映射。註意 π與 φ的定義域是不同的。可以證明， φ與 V ₁圱 V ₂一起具有如下的泛性質：若 L為域 F上任一線性空間，

為雙線性映射，則有惟一的線性映射 使 ，即有可換圖 。

　　也可用泛性質來定義張量積。所謂域F上兩個線性空間V₁與V₂的張量積，是指域F上的線性空間T及確定的雙線性映射

具有如下的性質：若對於 F上的任意線性空間 L與任一個雙線性映射

都有惟一的線性映射 h： T→ L使 h φ= σ。因為線性空間 V ₁與 V ₂的張量積是由一個線性空間 T和一個確定的雙線性映射 φ組成的，所以有時將張量積記為( T， φ)對或 T。上述的( V/ N， π)構作法說明瞭( T， φ)的存在性。可以證明，在同構意義下，上述定義的張量積是由 V ₁和 V ₂惟一確定的。仍以 x ₁圱 x ₂記 φ( x ₁， x ₂)， V ₁圱 V ₂記 T。一切形如 x ₁圱 x ₂的元素線性生成 V ₁圱 V ₂，

的充分必要條件是 x ₁、 x ₂中至少有一個為0。當 V ₁與 V ₂均為有限維時，可以證明：① dim V ₂若 { e _i}與{ f _j}分別為 V ₁與 V ₂的基底，則{ e _i圱 f _j}就是 V ₁圱 V ₂的基底。②若 V ₁ ^′與 V ₂ ^′也是 F上的線性空間， ， j=1，2，均是線性映射，由 定義的線性映射 ，記為 f ₁圱 f ₂，則

。③若 V _j ^″也是 F上的線性空間， 也是線性映射， j=1，2，則有合成律：

，且 I揊圱 I揋是 V ₁圱 V ₂上的恒等映射 。④關於 f ₁圱 f ₂的像與核有性質：

　

　　域F上r個線性空間V₁，V₂，…，V_r的張量積也可用泛性質定義如下：若V為F上的線性空間，

× 是 r重線性映射，對於 F上的任一線性空間 V′與任一個 r重線性映射 ，都有惟一的線性映射 h： V→ V′使 h φ= σ，則( V， φ)或 V稱為 V ₁， V ₂，…， V _r的張量積，記為 V ₁圱 V ₂圱…圱 V _r。 φ( x ₁， x ₂，…， x _r)記為 x ₁圱 x ₂圱…圱 x _r。類似於 r=2的情形，可以證明它的存在性和在同構意義下的惟一性，以及在同構意義下張量積運算具有結合性。當 均為有限維時，則dim( V ₁圱 V ₂圱…圱 V _r)= dim V ₁ 。

　　張量代數　設V是域F上的線性空間，圱^rV表r個V的張量積，稱為V的r次張量冪。若{e₁，e₂，…，e_n}是V的基底，則 圱^rV的基底為{

n， l=1，2，…， r}有 n ^r個元素。圱 ^r V的元素 T總可表為

，並稱為 r階張量。式中的 n ^r個純量 ∈ F，稱為張量 T關於 V的基底{ e ₁， e ₂，…， e _n}的分量。

　　約定圱¹V=V，圱⁰V=F，於是

是 F上的線性空間，每一個圱 ^r V都是它的子空間，這裡⊕表直和。將圱 V中生成元的乘法定義為

\ n

式中 x _j、 y _j∈ V，經線性開拓即得圱 V中完全確定的乘法，使之成為 F上的一個有單位元的結合代數，即所謂 V上的張量代數。它具有如下的泛性質：若 τ： V→圱 V是標準單射(嵌入)， A是 F上任一個有單位元的結合代數， σ： V→ A是線性映射，則有惟一的代數同態 φ：圱 V→ A使 φ τ= σ。這個泛性質也可用來定義圱 V。此時，它的存在性已由它的具體構造法證明，而它在同構意義下的惟一性的證明與張量積的惟一性證明相仿。這個泛性質蘊含如下性質：若 也是 F上的線性空間，則每一個線性映射 f ₁： V→ 都惟一地誘導一個代數同態 使

，且 ，式中1表恒等映射。對於 F上的三個線性空間 V、 、 ，則由線性映射 f ₁： V→ V′與 f ₂： → 的合成 f ₂ f ₁誘導的代數同態 ，即 V→圱 V，與 f→ T( f)確定瞭一個從 F上的線性空間范疇到 F上有單位元的結合代數范疇的一個共變函子。(見 范疇)

　　若V^*為V的對偶空間，則r個V^*與s個V的張量積，記為圱

V，其元素稱為 r階共變、 s階反變的 r+ s階混合張量，當 s=0時，圱 V即為圱 ^r V ^*，其元素稱為 r階共變張量；當 r=0時，圱 V即為圱 V，其元素稱為 s階反變張量；圱 ₀ ¹ V即 V ^*；圱 _r ^o V即 V；圱 ₀ ⁰ V即 F。若{ e ₁， e ₂，…， e _n}為 V的基底，{ e ¹， e ²，…， e ⁿ}為 V ^*與相應的對偶基即 ，式中 δ _ij為克羅內克符號，則有 n ^r+s個元素 ，形成圱 V的基底。圱 V的每一個元素都可惟一地表為 T= 的形式，其中的 n ^r+s個純量 ，稱為（混合）張量 T對於 V的基底{ e ₁， e ₂，…， e _n}的分量。仿圱 V的構作可得混合張量代數

。它也是 F上的線性空間，因此，張量的加法與純量乘法都可歸為對分量的運算，還可推出張量乘法的分量公式。

　　如果V是F上的具有內積(，)的內積空間，那麼定義圱^rV的內積為

，

式中 x _j、 y _j均在 V中， j=1，2，…， r，圱 ^r V就成為 F上的內積空間。若{ e ₁， e ₂，…， e _n}為 V的法正交基即( e _i， e _i)=1，( e _i， e _j)=0(i≠ j)時， 也是圱 ^r V的法正交基。還可將這個內積開拓到作為線性空間的圱 V上，即若 T=∑ T _r， S=∑ S _r，式中 T _r、 S _r均在圱 ^r V中，則 T與 S的內積定義為（ T ，S）=∑（ T _r， S _r）。此時可以證明，若 ，則 g與 V的法正交基的選取無關。 g稱為 V的反變度量張量。對 V ^*的對偶基{ e ¹， e ²，…， e ⁿ}可類似地定義共變度量張量 g ^*。此時可證，隻要 V的基底{ f _j}與 V ^*的基底{ f ^k}為對偶基(未必是法正交基)，那麼 g與 g ^*總可表為 ， 。

　　由張量代數可派生出兩個重要的代數即外代數與對稱張量代數。它們是兩個平行的分支。

　　外代數　亦稱格拉斯曼代數或反對稱張量代數。設V為域F上的線性空間，F的特征為0，N_r（V）表示圱^rV中由形如x₁圱x₂圱…圱x_r的元素全體（其中存在當j≠k時x_j=x_k的情形）生成的子空間(r≥2)，φ為V×…×V到F上的線性空間

的 r重線性映射， σ為任一 r元置換，由 定義 σ φ，式中 σ∈ S _r。由 定義的 π _A，稱為交代化子，式中的ε _σ，當 σ為偶置換時為1；否則，為－1。易知 。商空間圱 ^r V/ N _r( V)稱為 V的 r次外乘冪，記為∧ ^r V，它的元素 x ₁圱 x ₂圱…圱 x _r+ N _r( V)，則以 x ₁∧ x ₂∧…∧ x _r記之。仿照由張量冪作直和構造出張量代數的方法，取 ，其中約定∧ ⁰ V= F，∧ ¹ V= V，於是∧ V也是 F上的線性空間。在∧ V中定義生成元的乘法為 ，

，經過線性開拓即得∧ V中的乘法，並使∧ V成為一個有單位元的結合代數，稱之為 V上的外代數。它不是可交換代數，它的乘法滿足如下的規則：

，式中 x在∧ ^r V中， y在∧ ^s V中。因此，對於 V中的 x有 x∧ x=0，但 x不在 V中時， x∧ x未必為0。

　　當{e₁，e₂，…，e_n}為V的基底時，易證

是∧ ^r V的基底，因此 r≤ n時 ，而 r＞ n時dim∧ ^r V=0。於是

，式中 表從 n個元素中取 r個元素的組合數。若 V是具有內積(，)的內積空間，則可由

作線性開拓來定義∧ V中的內積，式中 x _j與 y _j均在 V中，使∧ V成為 F上的內積空間。

　　也可用泛性質來定義外代數。設K是域F上的一個有單位元的結合代數，F的特征為0，V是F上的線性空間，τ：V→K是任一線性映射，且滿足條件：①(τx)²=0，其中x∈V；②苦A是F上任一有單位元的結合代數，σ：V→A是任一線性映射，且使(σx)²=0，其中x∈V，則必有惟一的代數同態φ：K→A使φτ=σ。此時(K，τ) 對或K就稱為V上的外代數，記為E=∧V。可以證明其存在性及其在同構意義下的惟一性，證法與張量代數類似。K中的元素又稱為V上的反對稱張量。外代數可以概括行列式理論。外代數的推廣就是克裡福特代數，它也是一種有重要應用的代數，用它可將復數、四元數代數概括在內。

　　若V^*是V的對偶空間，則與構成混合張量代數類似，可將 ∧V^*圱∧V記為∧(V^*，V)，由

＝

，式中 x 、 y ∈ V ， x、 y∈ V，作線性開拓來定義∧( V ^*， V)的乘法，使∧( V ， V)成為有單位元的結合代數，而稱其為 V上的混合外代數。

　　對稱張量代數　它的理論及構作法是與外代數平行的。可以用

來定義關於 r重線性映射的對稱化子( r≥2)，令 。 稱為 V的 r次對稱冪，記為∨ ^r V，約定∨ ⁰ V= F，∨ ¹ V= V，記 ，式中⊕表直和。仿照前面來定義其乘法運算，即可得 V上的對稱張量代數。它也可用泛性質給以定義，設 S為域 F上有單位元的結合代數， F的特征為0， V是 F上的線性空間， τ′： V→ S是線性映射，且滿足條件：①

，② 當 A是 F上任一個有單位元的結合代數， σ′： V→ A是任一線性映射，且滿足

，這裡 x ₁， x ₂均在 V中，則必有惟一的代數同態 φ′： S→ A使 φ′ τ′= σ′。此時( S， τ′)對或 S稱為 V上的對稱張量代數，記為 S＝∨ V，其元素稱為 V上的對稱張量。對稱張量代數概括瞭通常的多元多項式代數。當 dim V= n時， V上的對稱張量代數等價於 F上關於 n個文字 x ₁， x ₂，…， x _n的多項式環，即∨

。對稱張量代數的許多結果都可與外代數的相應結果平行地建立起來。

　　

參考書目

　W.H.Greub，Multilinear Algebra，2nd ed.，SpringerVerlag，New York，1978.