微分學

　　與積分學聯繫密切，共同組成分析學的一個基本分支──微積分學。微分學研究函數的導數與微分及其在函數研究中的應用。建立微分學所用的分析方法對整個數學的發展產生瞭深遠的影響，運用到瞭許多數學分支中，滲透到自然科學與技術科學等極其眾多的領域。微分學的作用是在自然科學中用數學來不僅僅表明狀態，並且也表明過程（運動）。微分學的基本思想在於考慮函數在小範圍內是否可能用線性函數或多項式函數來任意近似表示。直觀上看來，對於能夠用線性函數任意近似表示的函數，其圖形上任意微小的的一段都近似於一段直線。在這樣的曲線上，任何一點處都存在一條惟一確定的直線──該點處的“切線”。它在該點處相當小的范圍內，可以與曲線密合得難以區分。這種近似，使對復雜函數的研究在局部上得到簡化。微分學的基礎是建立在實數、函數、極限、連續性等一組基本概念之上的。微分學主要研究以下內容。

　　導數　微分學的核心概念，主要始原於研究如何確定非勻速直線運動質點的瞬時速度與平面曲線上一點處的切線方向。

　　瞬時速度　原是一個純粹的物理概念。它是在人們經過多次反復觀察比較種種非勻速直線運動，尤其在研究物體的碰撞運動而獲得大量經驗之後產生的。精確科學要求，不僅要準確、清晰而定性地表達這個概念（當然必須與經驗的瞬時速度概念相一致），而且要能同時給出確定速度數值的方法。這就促使人們在數學上要建立一種對函數施加的獨特的運算。

　　設一個非勻速直線運動的質點所行的路程 s與時間t的依賴關系是

如果要定義質點在某一給定時刻t的速度(瞬時速度)，並計算出這速度的數值，考慮時刻t的一個鄰近值t₁，在t到t₁這段時間Δt=t₁-t中，質點運動的路程是

從而這段路程上的平均速度是

在一般常見的情形，當Δ t很小，相應的ῡ就很接近於時刻 t的瞬時速度，而且一般說來，Δ t愈小，ῡ就愈接近於該時刻的瞬時速度。這說明，時刻 t的瞬時速度可以表現為路程變化量與時間變化量之比當Δ t趨於零（而始終不等於零）時的極限：

隻要這個極限存在，就利用它來定義瞬時速度並計算其數值。

　　切線方向　若質點作曲線運動，則在每一瞬時，運動的特征首先表現在方向上。對質點運動瞬時方向的數量分析也將導致對函數施加與計算瞬時速度類似的運算。

　　設一個質點在一平面上運動，其軌跡在取定一個笛卡兒坐標系後可以表示成曲線y=f(x)。如果要考慮怎樣確定質點運動到曲線上一任意給定點p（x，y）時的瞬時方向（圖1

），為此在曲線上取 p的一鄰近點 Q( x ₁， y ₁)。很容易看到割線 p Q的方向近似於質點在 p處的瞬時方向，而且一般說來， x ₁愈接近 x，近似程度就愈好。如果當 Q沿曲線趨近 p，割線 p Q趨近某個極限位置 p T，則占據這個極限位置的直線就稱為曲線在點 p處的切線，這切線的方向就是運動質點在點 p處的瞬時方向。切線 p T與橫軸的夾角 θ，就應當是割線 p Q與橫軸夾角 φ的極限。因此切線 p T的斜率 k= tan θ可以如下計算：

若令Δ x= x ₁- x，則有

隻要這個極限存在，就決定瞭曲線 y= f( x)在點 p( x， y)處的切線的方向。

　　導數的定義　導數也稱微商。上述兩個問題盡管有著不同的物理方面或幾何方面的背景，但表現在數量關系上並沒有區別，解決問題所涉及的運算也是相同的：從自變量x的變化量Δx出發，求出相應的因變量y的變化量Δy以後，取商Δy/Δx，再令Δx趨於零(而始終不等於零)取極限

。這個極限運算稱為函數的微分運算，運算的結果稱為函數的導數。

　　準確地說，函數y=f(x)在給定一點x處的導數定義為

這裡說的是這個極限存在的情況，這時又稱函數 f( x)在點 x處是可微的。如果這個極限不存在，就認為 f( x)在 x處沒有導數，並稱 f( x)在點 x處不可微。例如 f( x)＝| x|在 x=0處就是不可微的。容易看出，如果因變量的變化量Δ y= f( x+Δ x)- f( x)不隨Δ x趨於零，則上述極限不會存在，所以函數在其不連續點處一定是不可微的。值得註意的是，函數在其連續點處也有可能是不可微的，如前面所給出的例 f( x)=| x|就在 x=0處連續而不可微。 K.（T.W.）外爾斯特拉斯曾給出一個例子(1872)，其中的函數處處連續但處處不可微。所以，函數的可微性要求比連續性強得多。外爾斯特拉斯給出的函數是

式中0＜ α＜1； b)為滿足條件 的一個奇整數。

　　可以在給定的點x處考慮單側導數，即左導數與右導數：

　　函數f(x)在它的每一個可微點x處都對應著一個唯一確定的數值──導數值f′(x)，這個對應關系給出瞭一個定義在f(x)全體可微點的集合上的新的函數，稱為函數f(x)的導函數，記為f′(x)。

　　微分法則　導數的定義直接蘊含著微分運算所遵循的基本法則。若u＝u(x)與v＝v(x)都是可微函數，則它們的和、差、積、商仍然是可微函數，並且

這就是微分運算的四則運算法則。

　　若函數z＝F（y），y＝f（x）都可微，則復合函數z=F(f(x))也可微，並且

這就是復合函數微分法則。

　　若y=f(x)與x=φ(y)互為反函數，則其中一個可微時，另一個也可微，並且

這就是反函數微分法則。事實上，在反函數存在性得到保證的前提下，這不過是復合函數微分法則的應用。

　　由以上微分法則可得基本初等函數的導數如下：

　　以上微分法則表明，初等函數的導數仍然是初等函數而且初等函數的導數的具體計算都切實可行。因此，關於初等函數的微分運算已完全地得到解決。

　　高階導數　函數f(x)的一階導數f′(x)的導數就是f(x)的二階導數，記為f″(x)。可以歸納地定義f(x)的n階導數f⁽ⁿ⁾(x)的導數就是f(x)的(n+1)階導數f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)。關於乘積函數的高階導數，有萊佈尼茨公式：如果u(x)和v(x)都是x的函數，各自有n階導數，則

式中

　　 微分　導數作為變化量之比的極限，不僅是變量變化的一種數量表現，而且還能通過函數關系進行運算。

　　線性主要部分　導數的存在表明切線的存在。假如函數y＝f(x)在點x處有導數f′(x)存在，則函數曲線在相應點p(x，y)處有斜率為f′(x)的惟一確定的切線存在。它在切點p附近與曲線密合，並且在相當靠近切點的地方，密合得難以區分（圖2

）。這在分析上意味著在點 x的小鄰域內，函數值 y= f( x)是可以用切線上相應點的縱坐標值來近似的。而且在 x充分小的鄰域內，近似誤差 R與Δ x= x ₁- x相比是微不足道的。事實上

由於 f′( x)存在，就有

這樣，函數的改變量Δ y就被分解成瞭兩部分之和，其中第一項線性地依賴於Δ x，而它與Δ y相差是關於Δ x的高階無窮小量。換言之，當Δ x很小時，舍棄這個微不足道的誤差，剩下的部分 f′( x)Δ x就可以作為Δ y的近似值瞭。這一項被稱為Δ y的線性主要部分。

　　微分的概念　自變量x的變化量Δx與x是無關的，稱為自變量的微分，記為dx；而因變量相應的變化量Δy的線性主要部分

則稱為函數 y= f( x)在點 x處相應於自變量的變化量Δ x的微分，用 d f( x)或 d y表示，即

。

　　抽象看來，微分有兩個特性，其一是dy是dx的齊次線性函數，其二是dy與Δy之差是關於Δx的高階無窮小量。這兩個特性完全決定瞭微分本身：如果有一個Δx的齊次線性函數為AΔx，同時具有第二種特性，則可以斷定A=f′(x)，亦即線性函數AΔx就必定是函數的微分。所以對一元函數說來，導數的存在性與微分的存在性是等價的。

　　微分的概念從萌發到完整，其嚴格化經歷瞭幾個世紀。即使在微積分蓬勃發展的牛頓-萊佈尼茨-歐拉時代，數學傢們盡管能用微分進行近似計算，佈列並求解微分方程，但由於無窮小量的概念尚未精確化，微分的概念並不明晰；直至19世紀，數學的嚴格性發展到瞭新的高度，微分的概念才被確切地理解。

　　一階微分形式不變性　對復合函數

如果 f( u)和 φ( x)都是可微函數，則在 x為自變量時 這說明， d y的表達式不論對自變量 x還是對中間變量 u其形式是不變的。也就是說可以不必區分變量 u是自變量或因變量，函數 y= f( u)的微分永遠具有一個共同的形式：

這就是一階微分形式不變性，這使得有時利用微分進行計算比運用導數要簡單。

　　由於一階微分是自變量改變量的線性函數，在求函數的變化量時用微分作近似計算很簡便。例如

在 x=2與Δ x=0.01時，

，

而 這裡 d y與Δ y相同至三位小數，而計算 d y要比計算Δ y容易得多。

　　高階微分　可以歸納地定義。一階微分（仍然作為x的一個函數）的微分，即稱為原來函數的二階微分，記為

關於乘積函數的萊佈尼茨公式就變為

這裡

d⁰u=u，d⁰v=v。

需要註意的是，高階微分不再具有形式不變性。對於 y= f( u)， u= φ( x)，有 d y= f′( u) d u，其中 d u= φ′( x) d x是一個與 x有關的函數，所以

如果 u是自變量，則 d ² u=0，因而

這就是說， u是自變量還是因變量，會導致高階微分具有不同的形式。

　　微分中值定理　在微積分學的理論證明中，中值定理具有根本的重要性，它有許多不同的形式。

　　羅爾定理　1690年法國數學傢M.羅爾首先發現，在閉區間上連續，區間內可微，在區間端點取等值的函數，其圖形上至少存在一點，圖形在該點的切線是“水平”的（圖3

）。與這個結論等價的是拉格朗日定理。

　　拉格朗日定理　如果函數f(x)在閉區間[α，b)]上連續，在開區間(α，b)內可微，則在這個區間內至少存在一點ξ，使得

。

直觀上說，就是在函數圖形上至少存在一點，在該點處的切線與圖形兩端點的連線平行（圖 4 ）。不過定理本身並沒有給出點ξ的確切位置，而且滿足條件的ξ點也可能不隻一個。如果設想 f( t)表示一質點在時刻 t所行的路程，那麼 就表示質點在時間間隔( α， b)中的平均速度，而 f′( t)表示質點在時刻 t的瞬時速度的數值。定理的意義則在於斷定至少存在一個時刻 t=ξ，在這個時刻的瞬時速度的數值，恰等於平均速度的數值。

　　形式上作些變化後，得到公式

式中0＜ θ＜1，這個公式被稱為拉格朗日有限增量公式。另一種較一般的形式稱為柯西中值定理。

　　柯西中值定理　若函數f(x)與g(x)在閉區間[α，b]上連續，在開區間(α，b)內可微，則在這個區間內至少存在一點ξ，使得

當 g( x)= x時，上面定理與拉格朗日定理有同一形式，所以柯西中值定理是拉格朗日定理的最一般的形式。

　　洛必達法則　法國數學傢G.-F.-A.de洛必達於1696年在他的名著《無窮小分析》中，給出瞭一種確定未定式值的方法：如果函數f(x)與g(x)在區間(α，b)內可微，g′(x)≠0，又如果

極限過程 x→ α+0也可以換成別的極限過程( x→ b)-0， x→с， x→∞)。由於所考慮的比 f( x)/ g( x)在極限過程中形式上趨於 或 ，不能一般地定值，所以稱為未定式。通過洛必達法則可以由 f′( x)/ g′( x)的極限來確定 f( x)/ g( x)的極限。應當註意的是，如果 f′( x)/ g′( x)的極限不存在，並不能肯定 f( x)/ g( x)的極限也不存在。此外還有0·∞，∞－∞， 0 ⁰， 1 ^∞及∞ ⁰幾種類型的未定式，但它們都可以先經過適當代數變換化歸 型或 型，然後用洛必達法則定值。

　　泰勒公式　多項式是最簡單的一類初等函數。由於它本身的運算僅是有限次加減法和乘法，所以在數值計算方面，多項式是人們樂於使用的工具。對於一個任意給定的函數f(x)，總希望能找到一個n次多項式p(x)，它至少在局部上與f(x)相當接近，因而在數值計算上能代替f(x)。

　　如果函數f(x)在某點x=x₀附近本來就是一個多項式

逐次微分便給出

當 n＜ m時可以寫出估計式

式中

稱為函數 f( x)在點 x= x ₀處的 n次泰勒多項式。對一般函數 f( x)，前面的估計式也可以成立，隻要 f( x)在點 x= x ₀處 n次可微。因為這時隻要寫出恒等式 並重復使用洛必達法則便可以得到

故仍然有

這裡餘項的估計式

稱為餘項的皮亞諾形式。此外常用的還有餘項的拉格朗日形式

式中ξ 位於 x ₀與 x之間的某一點。也有餘項的柯西形式

。

當然這裡都假定 f ⁽ⁿ⁺¹⁾（ x）在 x到 x ₀之間處處存在。如果 f ⁽ⁿ⁺¹⁾（ x）在 x與 x ₀之間處處連續，則有餘項的積分形式

　　通常，稱原點x₀=0處的泰勒公式為馬克勞林公式，即

一般地

或

式中ξ介於0到 x之間。

　　微分學在函數研究方面的應用　根據導數的幾何意義和微分的運算法則，函數的數量可在其幾何意義的指導下運用微分運算來進行研究。

　　函數作圖　描繪函數y=f(x)的圖形，往往可以使人們獲得f(x)的一個直觀幾何形象。這對於研究f(x)的變化規律，確定f(x)的極大值、極小值，甚至對方程近似求根都很有好處。選定笛卡兒坐標系後，描繪函數曲線y=f(x)的圖形，原則上說要采取“列表描點法”。也就是說要在坐標系中描出一批點

(x₁，f(x₁))，(x₂，f(x₂))，…，(x_n，f(x_n))；

最後用適當的曲線順次連結這些點。由於實際上隻可能描出有限個點，這樣得到的曲線圖形當然是粗糙的。為瞭能比較全面細致、又比較簡單地得到函數圖形，重要的是把握函數在整體上變化的特性（如范圍、對稱性、周期性等）、趨勢以及某些局部的特殊變化性態。

　　函數在某點的導數，幾何上給出瞭函數曲線在相應點處的切線的斜率。因此對於可微函數，借助於其一階導數的代數符號，可以分析曲線上各點處的切線的狀態，隨之即可能對曲線“上升”與“下降”的變化規律作出一些判斷。再借助函數的二階導數的代數符號，又能對切線的變化規律加以分析，從而又可以對曲線的“凸”與“凹”的特征進一步作出判斷。

　　單調性　如果函數取值隨自變量的增大而增大，則稱函數是單調增大的。反之，如果函數的取值隨自變量的增大而減小，則稱函數是單調減小的。單調增大和單調減小統稱為單調。

　　考慮可微函數y=f(x)，其圖形如圖5

。在其導數為正的區間，例如區間( x ₂， x ₄)內任取一點，比如 x ₃，則曲線上對應點處切線的傾角必介於0到π/2之間，因而曲線在 x ₃附近（從左到右）必定是上升的。故在區間( x ₂， x ₄)內函數是單調增大的；而在函數的導數為負的區間，例如區間( α， x ₂)內恰恰相反，函數是單調減小的。

　　極值點　如果函數在某一點所取的值不超過（或不小於）函數在該點某個鄰域內其他各點的值，則稱函數在該點處達到相對極小（或極大）值。該點是函數的一個極小（極大）值點。在圖5中f(x)在x=x₂，x=x₀處達到極小值，而在x=x₅處達到極大值，且x₂、x₆、x₅都是極值點。

　　17世紀法國數學傢P.de費馬首先註意到，可微函數的極值隻可能在適合方程f′(x)=0的點，即駐點處達到。幾何上看，曲線在相應極值點處的切線必定是“水平”的。不過駐點可能並不是極值點，如圖5中在x=x₄點的情形。因而函數在駐點是否達到極值，需進一步分析判定。如果函數在駐點處二階導數存在而且大於零，則函數在駐點處達到極小值。事實上，如果二階導數大於零，則一階導數在駐點附近是單調增大的；又由於駐點處導數值是零，因而一階導數在駐點左邊小於零而在駐點右邊大於零。這在幾何上反映出函數在駐點左邊單調減小，而在駐點右邊單調增大；故函數必定在駐點處達到極小值，該駐點是一個極小值點。類似地，如果在駐點處二階導數小於零，則該駐點必是一個極大值點。

　　凹凸性　對於可微函數y=f(x)來說，隨著自變量x取值的變化，函數曲線的切線的傾角也隨之在變化。如果隨x增大傾角減小，則稱曲線向上凸，或凸，如圖5曲線在B、D之間的弧。當f″(x)存在而且小於零時，f′(x)單調減小，即切線的傾角隨x增大而減小，因而曲線向上凸。反之，如果f″(x)存在，而且大於零，則曲線向下凸或凹。

　　拐點　如果曲線經過一點時凹凸性發生變化，該點就稱為曲線的一個拐點，如圖5中的B、E都是曲線的拐點。如果f″(x)在拐點附近連續且變號則在拐點處必有f″(x)=0。但應註意，不是所有使f″(x)=0的點都必定是拐點，如曲線y=x⁴上的(0，0)點。

　　漸近線　某些曲線，例如雙曲線、拋物線都是有伸向無限遠的分支的曲線。對於這樣的曲線，可能存在具有以下性質的直線：當動點在無窮分支上移向無窮遠時動點與該直線的距離（水平或垂直）趨向於零。這種直線稱為曲線的漸近線。一般地說，一條不與x軸垂直的直線y=mx+b稱為曲線y=f(x)的一個漸近線，是指差數

f(x)-mx-b

當 x趨於正無窮或負無窮時趨於零。當 x從左邊或右邊趨於 α時，｜ f( x)｜可以任意大，則稱垂直於 x軸的直線 x= α為 y= f( x)的一條“鉛直的”漸近線。斜漸近線的方程的系數 m與 b可以由極限

來確定。在 x→+∞及 x→-∞時 m和 b可能各有兩組不同的取值。

　　運用上述函數變化的各種狀態，就容易在適當取定少數幾個關鍵點的基礎上，作出所給函數的相當準確的圖形。例如考慮函數

的圖形。首先可以註意到，函數曲線與坐標軸沒有交點，並且由於滿足條件 f( x)=- f(- x)，函數曲線關於坐標系原點是對稱的。由於它的一階和二階導數分別有

\ n

所以當 x＞0時曲線下凸，當 x＜0時，曲線上凸。在 x=1處，函數達到極小值，在 x=-1處函數達到極大值，並且 y軸與直線 y= x分別是曲線的兩條漸近線。利用所得函數的這些特征，隻要選取 x=1， ，2（或者再添上 x= ，3）就可以相當準確地畫出函數的圖形來（圖6）。