微分動力系統-百科詞條

　　具有可微性質的動力系統。這一常微分方程論的分支起源於有關結構穩定性的研究。常微結構穩定性這一概念，A.A.安德羅諾夫和Л.С.龐特裏亞金在1937年即已提出，但二十多年後，才開始受到人們的認真註意（見動力系統）。

　　微分動力系統的研究後來得以日益開展還由於它吸收瞭泛函分析、黎曼幾何學、微分拓撲學、遍曆理論等數學分支的一些內容作為工具來進行大範圍的分析（例如，微分拓撲中的勻斷性概念在微分動力系統研究中有較廣泛的運用），還由於於它有較廣泛而深入的應用前景。

　　舉例　考慮一線性常微分方程組（或常微系統）

，　　　(1)

及擾動方程組

，　　　(2)

式中 E ⁿ表 n維歐氏空間( n≥2)， A是 n× n方陣，

為擾動項，對 x連續地可微。當 n=2 且

時，

的解若不在平面坐標軸上的話，即為成族的鞍形曲線，其相圖如圖 1

所示。

　　假如(2)的擾動項η(x)具有充分小的模

，

式中N( )表雅可比方陣的模，則將有從 E ²到其自身上的拓撲變換把(2)的積分曲線映至(1)的積分曲線，換言之，即(1)與(2)有相同的相圖結構。

　　事實上，若‖η‖₁＜∞，則對每一z∈E²，(2)有解z(t，z)(-∞＜t＜∞)取初值z(0，z)=z。置

通過簡單的計算和論證即看出 Δ( z( t， z))滿足(1)，且對於充分小的‖ η‖ ₁， Δ： E ²→ E ²是拓撲變換映滿 E ²。類似的結論對一般 n也成立，即：隻要 A的所有特征根實部都不為0，且 C ¹模‖ η‖ ₁充分小，即有從 E ⁿ到其自身上的拓撲變換把(2)的積分曲線映至(1)的積分曲線。這就是哈特曼－格羅佈曼定理中所敘述的一件事實。

　　但有的常微分方程組(或常微系統)是很敏感的，即任何微小的擾動都不保證它的相圖結構不改變，例如圖2

中的二維球面上，左端的具有等緯軌線的常微系統擾動後成為右端的具有螺紋軌線的系統。

　　上面是兩個簡單的常微系統的例子，前者在微小C¹擾動下相圖結構不變，後者則不然。

　　常微系統及結構穩定　這裡一般考慮光滑流形上的常微系統，不限於歐氏空間或其開子集上的常微分方程組。這樣考慮是有理由的。例如，Eⁿ×Eⁿ上一C^∞函數H在哈密頓系統

的每一解上取常值，而對於(-∞，∞)中一剩餘稠密子集中每一點с， H ^-1(с)若非空，即為 E ⁿ× E ⁿ中一餘維為1的光滑子流形。這引導到考慮光滑子流形上的常微系統。

　　設M是一光滑流形（是一個有可數基及豪斯多夫拓撲的拓撲流形，其上有C^∞微分構造）。命T_x(M)為M在x處的切空間，

為 M的切空間叢。 M上一常微系統 S是 M的一個切向量場，亦即叢 T( M)的一個截面： M→ T( M)（對任一 x∈ M有 S( x)∈ T _x( M)）。由於 T( M)也是光滑流形，就可以談到 S的連續及可微性。但微分動力系統理論中的主要成果大部分都是在 C ¹常微系統的情況下得出的。

　　設S是M上一C¹常微系統：若繞M上任一點處取局部坐標系，則局限在這樣的坐標系上，S可表成常微分方程組，其系數函數對自變量連續地可微。根據基本的常微分方程論，在M中過每一點x都有惟一的一條稱為S的軌線的曲線φ_t(x)（t∈一個包含O的最大區間(t_x^′，t_x^″)），滿足

。這些軌線，作為集合在 M中彼此不相交，充滿 M。

　　在這些軌線中占有特殊地位的是奇點和周期軌線。S的奇點α（即S(α)為0向量）稱為雙曲的，如果S在α處(就局部坐標系來說)的雅可比方陣的所有特征根實部都不為0。設p是S過常點с的周期軌線（即φ_ρ(с)=с對某些ρ＞0），任取M中過с的一個餘維為1的光滑子流形∑作為S的截痕，於是從∑中鄰近於с的點出發的軌線將接著再與∑相交。這給出∑上繞с處的局部C¹微分同胚。p稱為雙曲的，如果這微分同胚在с處的雅可比方陣所有特征根絕對值都不等於1。

　　在S所有軌線組成的相圖中，非遊蕩集Ω(S)有時有很復雜的拓撲結構。因為Ω(S)由所有這樣的點x∈M組成，即x的每一鄰域U都有域回歸性，這是說，恒有任意充分大的t使有非空的U∩φ_t(U)。

　　M上所有C¹常微系統自然地作成一線性空間

。

　　設M是一光滑黎曼流形。對任一Z∈H(M)，置

，

式中▽ _uZ表示Z對 u取共變微商。借助‖·‖ ₁自然地引進H( M)上一拓撲。就這拓撲來說，H( M)中的常微系統結構穩定是指，在有小擾動的情況下保持相圖拓撲結構不變的這種性質，或稱 S∈H( M)是結構穩定的。如果存在一數ε>0使得隻要Z∈H( M)且‖Z- S‖ ₁＜ε，即有一從 M到其自身上的拓撲變換把 S的軌線映到Z的軌線。

　　前面舉瞭結構穩定與非結構穩定系統的例子。顯然M上所有結構穩定系統作成H(M)中一開子集。

　　結構穩定理論中極大部分重要成果都是在緊致光滑流形情況下得出的。下面普遍設M是緊致的。

　　於是對任一Z∈H(M)恒有 ‖Z‖₁＜∞，且H(M)作成一巴拿赫空間以‖·‖₁為模Z（據M的緊致性可看出，從M上另外的黎曼度量出發得出的這樣的模是等價的）。從M的緊致性可得出，S∈H(M)過任一x∈M的軌線

的定義域( t _x ^′， t _x ^″)恒為(-∞，∞)。於是有動力系統 φ _t： M→ M(-∞＜ t＜∞)。

　　從二維到高維　在一閉曲面M²上，C¹常微系統S結構穩定的充分必要條件是：①S僅有有限個數的奇點和周期軌線，這些奇點和周期軌道都是雙曲的。②S過每一常點с∈M²的軌線的ω-極限集Г_c和α-極限集合Гć都隻能是奇點或周期軌線，但Г_c和Гć不同時都是鞍點。

　　M.佩克索托（1959，1962）得出這個特征性定理。在此以前，安德羅諾夫與龐特裡亞金（1937）就某類平面常微分方程組敘述過同樣的結論。佩克索托同時還給出一稠密性定理，即：M²上所有的結構穩定系統作成H(M²)中一稠密子集。這個結果是令人鼓舞的，因為對於H(M²)中各種常微系統所展示的許多復雜的相圖，多少看到瞭有一點一般性的規律。

　　但當diтM≥3時，是否可以有類似的結論呢?S.斯梅爾曾經研究過M上一類較特殊而現在稱為莫爾斯－斯梅爾系統(簡稱M－S系統)的常微系統(1960)。這類系統至少有一個特性是：它的非遊蕩集僅由有限個數的奇點和周期軌道組成。後來J.帕利斯與斯梅爾(1968)證明M－S系統是結構穩定的。閉曲面上的結構穩定系統是M－S系統。但即令當diтM=3時，M上所有的結構穩定系統可以不作成H(M)中的一個稠密子集，R.威廉斯(1968)曾經給出一個三維非稠密性的例子。另外，結構穩定系統周期軌線的個數一般也可以是無限的。60年代初期繼續出現的斯梅爾馬蹄及阿諾索夫微分同胚（包括托姆環面自同構），通過取扭擴都可引出具有無限多周期軌線的結構穩定的常微系統。扭擴是一個從微分同胚以得出常微系統的辦法。

　　微分同胚與扭擴　前面已經指出，所討論的微分動力系統，除開由常微系統所產生的對時間t連續的動力系統以外，還有由微分同胚所產生的離散動力系統。命Diff(N)為一緊致光滑流形N上所有的C¹微分同胚作成的集合，賦以C¹拓撲。對任給的一f∈Diff(N)，由(q，x)

f ^q( x)給出一離散動力系統 J× N

N，其中 J表整數群。在連續系統中所涉及的一些概念，對於離散動力系統可以平行地引進。例如，過一點 x∈ N有 f-軌道{ f ^q( x)| q∈ J}。 f叫作結構穩定的，如果 f在Diff( N)中有一鄰域 G使得對任一 g∈ G存在一相應的拓撲變換ξ： N→ N滿足ξ f= gξ。

　　如上所述，有兩類形式的問題。一類是有關連續系統的，另一類是離散的。兩者基本上類似，但有其獨特性的部分。另一方面，在有關微分動力系統的文獻中也經常看到，有些重要成果先對離散系統建立，然後設法擴充至連續情況。象Z.尼太斯基在《可微動力系統》一書中總結到的研究離散系統的方法，比如巴拿赫空間中哈特曼-格羅佈曼定理的應用，有代表性。若直接討論常微系統，采用典范方程組的辦法將是較方便的。

　　任給f∈Diff(N)。它的扭擴流形N_f是商流形(-∞，∞)×N/～，其中～表等價關聯(t，x)～(t+q，f^-^q(x))對於q∈J（圖3

）。 f的扭擴是 N _f上的切向量場 S _f，由

經過商映射導出。

　　在此必須指出：可以這樣取N_f上的一個C^∞微分構造，使得x

(0， x)把 N C ^∞-嵌入到 N _f中且得出

。命 φ _t： N _f→ N _f(-∞，∞)為 S _f所產生的動力系統。則 f= φ ₁| N。這樣一來，在有些有關動力系統的問題上，扭擴提供一個把微分同胚當作常微系統的特款來考慮的途徑。

　　雙曲性、勻斷性與Ω－穩定　考慮S∈H(M)及所產生的動力系統φ_t：M→M(- ∞＜t＜∞)如前。從S的C¹可微性，知φ_t(-∞＜t＜∞)也是C¹可微的，故S也在M的切空間叢T(M)上導出一單參變換群（亦即一動力系統）dφ_t：T(M)→T（M）（- ∞＜t＜∞）。設Λ是M中一閉子集，在φ_t(-∞＜t＜∞)下不變。稱S在Λ上有雙曲構造，如果部分叢T(M)|Λ有直和分解

。

式中｛ S| Λ｝由 S| Λ產生，而 F _-及 F ₊都在 d φ _t（-∞＜ t＜∞）下不變，且存在數 η _Λ＞0及 d _Λ＞0，使得

例如，易看出前面提到過的 S的雙曲奇點 α和雙曲周期軌線 p，也正是這裡所說的， S在 α和 p上有雙曲構造。在整個 M上有雙曲構造的常微系統即通常所指的阿諾索夫系統。

　　設S在Λ上有雙曲構造，對任一x∈Λ，記

這些都是 M的 C ¹子微分流形，稱為 S過 x的軌線的穩定流形與非穩定流形。於是可以討論對任意的 x及 y∈ Λ， W _-( x)及 W ₊( y)是否具有勻斷相交性（ M中兩個子微分流形在一交點處稱為勻斷相交，如果在這交點處兩者的切空間張成 M的切空間）。

　　一個重要問題是：如何推廣dimM=2情況下的佩克索托特征性定理，尋找dimM≥3情況下結構穩定系統的特征性質。這方面曾經有一個（原為帕利斯與斯梅爾就微分同胚產生的離散系統情況下提出的）推測。其內容為：S∈H(M)結構穩定的充要條件是①公理A：S在Ω(S)上有雙曲構造，且奇點與周期軌線的並集在Ω(S)中稠密。②強勻斷：對任意的x及y∈Ω(S)，W_-(x)與W₊(y)恒勻斷相交。

　　這條件充分性的證明雖久已由C.魯賓孫(1954)完成，但必要性尚隻在低維情況下得到驗證。主要是要驗證S結構穩定是否蘊涵它在Ω(S)上有雙曲構造。

　　比結構穩定這概念稍弱一點的，有所謂Ω－穩定性。S∈H（M）將稱為Ω－穩定的，如果存在一數δ＞0使得，如果Z∈H(M)且‖Z-S‖₁＜δ，則Ω(S)與Ω(Z)有相同的相圖結構，換言之，即有一從Ω(S)到Ω(Z)上的拓撲變換把S在Ω(S)中的軌線映到Z的軌線。

　　若S是結構穩定的，則它也顯然是Ω－穩定的。同樣有一個問題：若S是Ω－穩定的，則它是否一定在Ω(S)上有雙曲構造呢？對這個問題，過去隻在低維情況下有肯定的答案。

　　擾動問題　微分動力系統研究，大致可以說，前期以穩定性問題為核心而展開。近年來，逐漸更多地涉及到一些非穩定方面的課題。這是從數學上反映瞭自然界中常常發生的、隨時間而變導的擾動現象，因而引人註意。如1963年，E.N.洛倫茨就討論瞭簡化一個流體動力學方程後所得的方程組

並且對於 σ=10， r=28及 b)=8/3，在計算模擬上看到瞭一些解的混沌性。後來進一步的有關工作啟示人們去建立湍流的產生機制的新設想。J.古肯凱默(1976)以及R.威廉斯(1979)定性地得出瞭許多三維常微系統，呈現瞭同樣的混沌現象，這些系統不能用 Ω－穩定系統去 C ¹逼近。

　　如上所述，在高維情況下，由於結構穩定系統或Ω－穩定系統的非稠密性，H(M)中有些系統在發生擾動時，其相圖拓撲結構可能隨擾動而混雜地變動。這方面的有些規律應當是遍歷性的。例如，從佩辛與D.呂埃爾的一個結果有：若S是M上一C^∞常微系統且μ是在φ_t(-∞＜t＜∞)下不變的概率測度，則對幾乎所有點x∈M，