堆壘數論的一個基本問題。把正整數n分成為不計次序的若幹個正整數之和
表1 （m為正整數）
的一種表示法，稱為
n的一種分拆。對被加項及項數加以一些限制條件，就得到某種特殊類型的分拆，
n的某類型所有不同的分拆個數
r(
n)，稱為該類型分拆的分拆函數。通常根據情況約定
r(0)=0或1。對被加項的限制條件主要是關於它們的大小、它們的差的大小，以及它們屬於某些指定的剩餘類。不加限制條件的分拆，稱為無限制分拆，其分拆函數記作
p(
n)，它是一類重要的分拆。例如，6=5+1=4+2=4+1+1=3+3=3+2+1=3+1+1+1=2+2+2=2+2+1+1=2+1+1+1+1=1+1+1+1+1+1，所以
p(6)=11。表1
表1 （m為正整數）
中給出瞭一些常見的分拆。
整數分拆理論，主要是研究各種類型的分拆函數的性質及其相互關系。早在中世紀，就有關於特殊的整數分拆問題的研究。18世紀40年代，L.歐拉提出瞭用母函數法（或稱形式冪級數法）研究整數分拆，證明瞭不少有重要意義的定理，為整數分拆奠定瞭理論基礎。解析數論中的圓法的引進，使整數分拆理論得到瞭進一步發展。整數分拆與模函數有密切關系，並在組合數學、群論、概率論、數理統計學及質點物理學等方面都有重要應用。
分拆函數關系式 冪級數
稱為分拆函數
r(
n)的母函數。在許多情形，它是容易求得的(表1)。
表2 （m為正整數）
歐拉的母函數法，就是利用它來研究
r(
n)。從母函數之間的恒等式，可導出不同類型的分拆函數之間的關系式。如表2，其中最後一個關系式即著名的歐拉五角數定理，由此，歐拉得到瞭無限制分拆函數
p(
n)的遞推公式：
，其中
k取整數，
ω(
k)=(
3
k
2-
k)/2是五角數。利用這一公式，P.A.麥克馬洪於1918年編造瞭
p(
n)(
n≤200)的表。H.古普塔分別於1935年、1937年和1958年將
p(
n)的表擴大，直到
n≤1000。
1853年，N.M.費勒斯首先提出用圖示法研究分拆函數。為確定起見，分拆的被加項按不增次序排列n1≥n2≥…≥ns＞0。他把n的一個分拆n=n1+n2+…+ns，用圖形表示：自上而下畫出s行等距圓點，第i行的圓點數為nj(1≤i≤s)，且每行左起第一個圓點位於同一列上。這種圖通常稱為費勒斯圖。例如，16=8+4+3+1可用
表示。
利用圖形的組合性質可得到不同類型的分拆函數之間的關系式，以及一些恒等式。例如，F.弗蘭克林於1881年用這種方法證明瞭五角數定理。可以根據不同的分拆類型和問題來選用其他更合適的圖形表示。分拆圖示法是一個靈活而有效的方法。
與模函數的關系 無限制分拆的母函數
·
是單位圓|
x|＜1內的解析函數。令
。得
，其中
，稱為戴德金
η函數。從五角數定理可推出函數的變換公式
，其中
α、
b、с、
d為滿足
α
d-
bс=1的整數，ε為一和
α，
b，с，
d有關的24次單位根。反之，由
η函數的這一變換公式可推出
p(
x)的一個變換公式，它在
p(
n)的漸近公式推導中有重要作用。此外，從模函數論中的雅可比恒等式
可推出五角數定理。
p(n)的漸近公式與級數表示式 無限制分拆函數p(n)的值，隨n的增長而急劇增長：
G.H.哈代和
S.A.拉馬努金於1918年證明估計式
，
A、
B為某兩個正常數。他們首先提出瞭圓法，用它證明瞭漸近公式
，其中
。H.拉德馬赫爾於1937年得到級數表達式
，其中
，
A
k(
n)是某一指數和。
p(n)的同餘式 S.A.拉馬努金於1919年得到瞭p(5n+4)≡0(тod5)，p(7n+5)≡0(тod7)，p（11n+6）≡0(тod11)。他還提出瞭一個猜想，後來發現有錯，經過修正，G.W.沃森於1938年、J.勒納於1943年與 A.D.L.阿特金於1967年證明瞭：若
，則
。對其他模的同餘式也有討論。 整數分拆問題已被推廣到代數數域上。此外，還可以討論高維分拆
，
r為給定正整數，以及多重分拆：
，
k為給定正整數。
參考書目
華羅庚著：《數論導引》，科學出版社，北京，1957。
G.E.Andrew，The Theory of partitions，Addison-Wesley，London，1976.