由多項式構成的正交函數系的通稱。正交多項式最簡單的例子是勒讓德多項式，此外還有雅可比多項式、切比雪夫多項式、拉蓋爾多項式、埃爾米特多項式等，它們在微分方程、函數逼近等研究中都是極有用的工具。

　　設ω(x)是定義在區間[α，b]上的非負可積函數，如果它滿足條件

，則稱 ω( x)為一個權函數。如果定義在［ α， b］上的函數 f（ x）與 g( x)滿足等式

，則稱它們在[ α， b]上關於權 ω( x)是正交的，並稱[ α， b]為它們的正交區間。對於給定的區間[ α， b]及其上的權函數 ω( x)，從冪函數序列 出發，可以構造一列多項式：

　　　　　(1)

使得 p n( x)的次數是 n，而且其中任意兩個多項式在［ α， b］上都關於 ω( x)正交，這時稱(1)為在［ α， b］上關於權 ω( x)的正交多項式系，並稱(1)中每一個多項式為正交多項式。如果正交多項式系(1)還滿足條件 · ，則稱(1)為在[ α， b]上關於權 ω( x)的規范正交多項式系。

　　為瞭構造(1)，先計算積分

，然後記 Δ -1= 1

以及

則 就是在［ α， b］上關於權 ω( x)的一個正交多項式系。常記

則 n( x)的首項系數為1， n( x)的首項系數是正的，而且{ n( x)}是在[ α， b]上關於權 ω( x)的規范正交多項式系。對於同一權函數的正交多項式系雖然很多，但是首項系數為1的正交多項式系或首項系數為正的規范正交多項式系卻是由權 ω( x)所惟一確定的。任一 n次多項式都可表示為 p 0( x)， p 1( x)，…， p n( x)的線性組合。 p n( x)的零點全部位於( α， b)中，而且 p n+1( x)的相鄰兩個零點間都有 p n( x)的一個零點。此外，對於 n=0，1，…都有如下的遞推公式：

　　(2)

式中

　　假設函數f(x)在［α，b］上關於ω(x)平方可積，即

，則稱 為 f關於 的傅裡葉系數， 為 f的傅裡葉級數。若記這個級數前 n+1項之和為 S n( f， x)，則對任何次數小於 n的多項式 q( x)有

而且當 n→∞時，這個不等式左邊所表示的偏差收斂於零。對於任何正交多項式系，都有連續函數使其傅裡葉級數不一致收斂。為瞭研究傅裡葉級數的收斂性，常記 稱為核。顯然 。關於核 K n( x， t)有如下的克裡斯托費爾-達佈公式

由此易證：若在點 x處 有界，而且函數

關於權 ω（ t）平方可積，則 S n( f， x)收斂於 f( x)。

　　常用的正交多項式是關於

正交的雅可比多項式

式中α>-1， β＞-1，是給定的實數，對於 ，有

可以算出，此時遞推公式(2)中的

α＝ β的情況比較簡單，稱作超球多項式。當α＝ β=0，也即關於權 時，相應的正交多項式稱作勒讓德多項式，它還可表成　 當 ，也即關於權 相應的正交多項式稱作切比雪夫多項式，它有表達式

當 ，也即關於權 ，相應的正交多項式稱作第二類切比雪夫多項式，它有表達式

這些正交多項式的正交區間都是［-1，1］。它們不僅本身有廣泛的應用，而且其零點還常作為插值過程的結點。此外， 還是二階線性齊次微分方程

的解。

　　如果討論的是無限區間[0，+∞)，則常考慮以

或 為權的正交多項式系 與 ，它們依次稱作拉蓋爾多項式與埃爾米特多項式，其表達式是

遞推公式是

L n( x)與 H n( x)

還依次滿足微分方程

　　上述理論完全可能推廣為如下形式：設ψ(x)是區間[α，b]上的非減函數，

。如果定義在[ α， b]上的函數 f( x)與 g( x)滿足等式 ，則稱他們在［ α， b］上關於權 ψ( x)正交。這裡的積分是勒貝格-斯蒂爾傑斯意義下的積分。為區別上述情況，人們稱這時的權函數 ψ( x)為積分權，而將前面的權函數 ω( x)稱作微分權。由積分權出發建立的正交多項式理論自然要廣泛一些。此外，還可建立多元的正交多項式理論。