互相正交的函數系的簡稱。平面上兩個向量α＝(α1，α2)和b=(b1，b2)的正交性可用內積
刻畫。對［
α，
b)］上平方可積函數
f（
x）和
g(
x)，可用
定義內積，而且用〈
f，
g〉=0定義正交性。在這個定義下，上面許多幾何事實可以移植到該函數空間。由此便產生瞭正交系的概念：設
都異於零且兩兩正交，則稱{
φ
k(
x)}是[
α，
b]上的正交函數系。又，若
，則稱正交系{
φ
k(
x)}是就范的。正交系在分析學中有著重要地位。在許多數學分支，例如，微分方程、積分方程、計算方法、實函數、復函數與泛函分析中常會遇到它們。
正交系的例子 最早出現且也是最重要的正交系是［-π，π］上就范正交的三角函數系：
。它的出現與弦振動問題有著密切聯系。對它的深入研究曾對整個分析學的發展起過很大的促進作用。除三角函數系外，正交多項式系、哈爾系、拉德馬赫爾系和沃爾什系也是有較大理論和應用價值的正交系。哈爾系、拉德馬赫爾系和沃爾什系都是[0，1]上就范正交系。
哈爾系
是由匈牙利數學傢 A.哈爾於1910年提出的，定義如下：
若
，那麼
在間斷點上
(
x)等於左、右極限的算術平均。
拉德馬赫爾系
是德國數學傢H.拉德馬赫爾於1922年提出的，定義如下：
沃爾什系
是由美國數學傢J.L.沃爾什於1923年提出的，定義如下：
（當
n≥1且其二進表示為
）。
正交系的完備性 平面上任意兩個正交的單位向量{e1，e2} 都是一組基，即任一平面向量α可表示為
的形式。[
α，
b]上平方可積函數空間
L
2[
α，
b]中的函數是否也可用正交系作類似的表示呢？回答是有時可以，有時不可以。這取決於正交系的完備性。設{
φ
n(
x)}是［
α，
b)］上就范正交系，
，稱
為
f(
x) 關於正交系{
φ
n(
x)}的傅裡葉系數。假如
僅當
f(
x)≡0時才成立，則稱 {
φ
n(
x)}是完備的。前面所說的三角函數系、哈爾系、沃爾什系都是完備的，拉德馬赫爾系不是完備的。若{
φ
n(
x)}是完備的就范正交系，那麼對於一切
f(
x)∈
L
2[
α，
b]有展開式
。此式的含義是其部分和序列
在
L
2[
α，
b)]中收斂於
f(
x)。反之，若上式對一切
f(
x)∈
L
2[
α，
b]成立，則{
φ
n(
x)}必須是完備的。
抽象空間的正交系 一般地，設H是希爾伯特空間，則當內積〈x，y〉=0時，稱元素x和y是正交的。正交系是指異於零且相互正交的元素系。同樣可以定義就范、傅裡葉系數和完備性等概念。當正交系最多隻有可列個元素時，可以證明，就范正交系{xn}的完備性是一切元素y∈H有展開式
的充要條件。通常稱此展開式為按{
x
n}的正交展開或傅裡葉展開。