連續統假設

　　G.（F.P.）康托爾在1878年提出的關於連續統的勢（即基數）的一個假設。通常稱實數集（直線上點的集合）為連續統，而把連續統的勢記作C。遠在亞裡斯多德時期，即已認為沒有一個無窮集比另一個無窮集大，這一觀點在歷史上延續兩千年之久，迄至1847年G.（F.P.）康托爾證明瞭：任一集合A的冪集P(A)的勢都大於A的勢，才指明上述觀點是錯誤的。康托爾還同時證明瞭：連續統的勢與自然數集之冪集的勢是相等的。所謂連續統問題是指：是否存在其勢大於自然數集的勢而又小於實數數集的勢的集合。G.康托爾猜測：實數集的子集除瞭有窮子集，可數無窮子集以及與實數集本身等勢的子集外，再沒有別樣的子集。也就是說，康托爾猜測，實數集的一切無窮子集或者與自然數集等勢或者與連續統等勢。康托爾的這個猜測就稱連續統假設。在有選擇公理的條件下，每一個無窮集的勢都是某個阿列夫，自然數集的勢是堗₀，連續統的勢

。因此，連續統假設可以等價地表為

，

並簡記為CH。

　　把上式等式推廣到任意的勢，即得所謂廣義連續統假設：

　　① 對任一序數

；或者，

　　② 對任二無窮勢k，λ，若k≤λ≤2^H，則

　λ=k或者λ=2^H，

①與②是等價的，均簡記為GCH。

　　在數學研究的許多領域中，CH是不可或缺的，例如，在討論實數子集的測度性質和拓撲性質時，其中的一個基本問題“與R不等勢的子集是否測度為零?是否屬於第一范疇（或第一綱）？”在沒有CH的情況下，不能回答。所以，在從事這一方面的研究時，常常要附加CH作為前提。實際上CH等價於下述命題K和l的合取。

　　K：每一X⊆R，｜X｜＜

， X是第一范疇集。

　　l：存在一l⊆R，｜l｜=

且 l和每一無處稠密集的交都是至多可數的。

　　CH 也等價於命題M和S的合取。

　　M：每一勢比

小的實數子集測度為零。

　　S：存在一S⊆R，|S|=

且 S和每一零測度集的交都是至多可數的。

　　此外，以下的每一命題都等價於CH。

　　P₁：實平面可以分成兩個集合X，Y，X和每一水平線隻有可數交，Y和每一垂直線隻有可數交。

　　P₂：實平面是可數多條曲線的並。

　　關於實數集上的實函數論，在假定瞭CH的前提下，就有

　　C₁：存在一個從R到R的函數f，它在任一不可數的P⊆R上都不連續；

　　C₂：存在一個f：R→R，和一個P⊆R，｜P｜=

， f在 P上連續，但在 P的任一不可數子集上， f都不一致連續。

　　盡管CH在數學研究的許多領域中作用顯著，但在純粹的集合論研究中卻作用不大。例如對於勢的冪運算的簡化，CH就難以為力。所以人們才又進一步考慮瞭GCH，利用GCH可以將勢的冪運算簡化如下：

　　連續統問題在D.希爾伯特1900年提出的《數學問題》中位居第一（見希爾伯特數學問題）。包括希爾伯特在內的許多名傢都曾致力於這一著名難題的研究，雖歷經艱苦奮鬥，但在相當長的一段時期內，沒有進展。因而促使人們懷疑這一問題在數學的現狀下是無法解決的。

　　直到1938年，K.哥德爾證得瞭GCH（因而CH）相對於ZF系統的協調性，即：若ZF系統是協調的，則在ZFC系統中，GCH的否定是不可證明的。1963年，P.J.科恩又證明瞭CH（因而GCH）相對於ZF系統的獨立性，即：若ZF系統是協調的，則在ZFC系統中，CH是不可證明的。綜上所述，即得：在ZF系統中，CH是不可判定的。（見集合論公理系統）

　　哥德爾和科恩的成果被譽為20世紀數學基礎研究中的兩個重大成就。科恩創立的力迫方法已在集合論中得到廣泛的應用。運用這一方法，人們已經證明瞭一大批數學命題的獨立性。

　　由於ZFC系統無法決定連續統問題，甚至附加直觀上可靠的大基數公理（例如可測基數存在公理）仍然無法推出CH，因而包括哥德爾在內的一些數學傢認為CH不可信，想用一代新的公理來取代CH。在這一方面，由D.A.馬丁等人在1970年提出的馬丁公理是最佳的選擇，它與力迫法相輔相成，結合著發展，最後得到一條馬丁極大原理，它有著廣泛的應用，目前尚在進一步的研究中。

　　

參考書目

　Seirpinski，H yhothese Du Continu，2nd ed.，Chelsea，New York，1956.