力迫方法

　　一種構造公理系統的模型的方法。由P.J.科恩於1963年為證明連續統假設的否定

與ZF 相協調而提出，當時證明瞭 及

等，其後D.S.斯科特及R.M.索洛韋發展瞭佈爾值模型處理方法。J.R.休恩菲爾德認識到斯科特及索洛韋的構造可以直接用偏序集而不必嵌入一完全佈爾代數，流行的是休恩菲爾德的既具一般性又與科恩的思想比較接近的處理方法。

　　給定一個 ZFC的可數可傳模型M。想象一個外來物G，把G加到M上擴充成一個可數可傳的M[G]，使得M[G]⊨ZFC，M⊂M[G]，G∈M[G]，而且M[G]是具有這三條性質的最小的。在某種意義下，M[G]中的個體是可以由G經過在M中可定義的集論過程得到的。M[G]中的每一個體在M中就能討論，知道G後，就知道M[G]的每一元。一般的情況下G∉M，但是G可以用M中的元素迫近。

　　為瞭在M中能討論M[G]，給出一個有很多常量的新語言：令P為一偏序集，P∈M，M⊨

ZFC（ctm表示可數可傳模型）；定義 P-標號，然後令 M ^p ｛τ∈ M｜τ是 P- 標號}。這些τ∈ M ^p可看作形式符號。把原來的語言 L={∈}拓展成 L = LU{τ：τ∈ M ^p}。這樣的一個 P叫做一個力迫概念， L 叫做 T力迫語言， P中的元素叫做力迫條件。兩個條件 p， q，在偏序≤下， p≤ q稱作 p比 q強（此處由於歷史因素造成瞭符號運用的倒置）。一個 G⊆ P，若 G是非空濾子，而且跟每一在 M中的稠密子集 D⊆ P有交，則稱為在 M上 P-脫殊的。給定一個 G，不論 G∈ M與否，可以定義一賦值，使每一τ∈ M ^p都有一解釋τ _G。把所有新常量的 G－解釋收集起來成為語言 L 的一個結構 M[ G] {τ _G：τ∈ M ^p}。對 L 一句子 ψ， ψ就是 M[ G]的一個斷言，其真假視 G而定。對 p∈ P， ψ是 L 一句子，定義 p ψ（讀作 p力迫 ψ）如下：

若 M⊨ ZFC， P是 M中的一偏序集， P ₀∈ P，則總有含有 p ₀的、在 M上 P-脫殊的 G⊆ P，而且當 G是在 M上 P-脫殊的時候，上面所定義的 M[ G]⊨ZFC， M[ G]≥ M， G∈ M[ G]。這樣就從一個模型，擴張成另一個模型。應用不同的偏序集，可以得到一些附加公理（假設）在 M[ G]中成立。相對協調性結果就可如此樣得到。利用這種方法得到的相對協調性結果的數目已經相當可觀瞭。

　　力迫方法的很多工作，包括上面那個主定理的證明都用到下面三條引理。

　　① 可定義性引理 上述

的定義不是能行的。可用遞歸定義法得到 ^*，使給定 p， ψ(τ)， p ^* ψ(τ)對應於 L 中一 T公式，而且 p ψ(τ)⇔ M⊨( p ^* φ(τ))。

　　② 真理引理　對每一在M上P- 脫殊的G⊆P，M[G]=φ[τ_G]⇔彐p∈G(p

φ(τ))。

　　③ 稠密引理　對任一L

一語句 φ(τ)，對每一 p∈ P，都有一比 p強的條件 q， q或力迫 φ(τ)，或力迫¬ φ(τ)。

　　以上是力迫的理論。如果想要一個滿足

的模型，就想象一個從 ω ₁到P（ ω）的滿射 g。 G中元素就是這個未知函數 g的一些可數迫切。自然令

這個 P在 M中可定義， P∈ M。用 作偏序≤，因此任一在 M上 P-脫殊的 G⊆ P是一相容函數集，而且 UG是 ω ₁ ^M到 P ^M(ω)的滿射。此處 ω ₁ ^M是在 M中看到的第一個不可數基數， P ^M(ω)是 M中看到的全體ω的子集。可以由 P的性質，證明在 M[ G]中沒有多出ω的子集來，盡管 M[ G]確比 M大。而且可以證明，在 M[ G]中扮演著第一個不可數基數的角色的序數，就是剛才的 ω ₁ ^M，所以 M[ G]中的函數 UG（亦即原來的未知函數 g），就見證瞭有一函數，從 M[ G]認為是第一個不可數的基數，到 M[ G]認為是 ω的全體子集上。即 M[ G]⊨彐 g（ g是 ω ₁到P( ω)上的函數）從而 M[ G]⊨ ，即 M[ G]⊨CH。這不等於構造瞭一個CH的模型，而是由一個ZFC的可數可傳模型 M，得出一個2FC+CH的可數可傳模型 M[ G]。

　　如果取P={p∈M|M⊨|p|＜ω∧p是函數∧domp⊆ω₂×ω∧rangep⊆{0，1}}，用

作≤，得到的擴張 M[ G]中至少有堗 ₂個從 ω到{0，1}的函數。從而 M[ G]⊨ZFC+¬CH。

　　為瞭使在原來的M中作為基數的序數到瞭M[G]中保持不變，要對力迫概念，也就是偏序集，加上限制。在這個理論的發源期就提出來的有鏈條件和閉性質等，隨著力迫理論方面的突破即迭代力迫的創立，以及J.鮑姆格特納和S.謝拉赫等的正常力迫法的工作即除瞭又有許多命題的相對和諧性得到證明之外，提出來的相應的條件又促進瞭組合集論的發展。