連續模

　　刻畫函數的連續性的一種尺度。假設f(x)是定義在閉區間[α，b]上的連續函數，稱

為 f的連續模。 ω( f， δ)是在[0， l]上有定義的函數( l= b- α)，並且有如下性質：①當 δ→0時， ω( f， δ)→0；② ω( f， δ)是非負增函數；③ ω( f， δ)是半可加的，也即對於 ；④ ω( f， δ)是 δ的連續函數；⑤對於自然數 n，當0≤ nδ≤ l時，有 ω( f， nδ)≤ nω（ f， δ），對於非整數 λ＞0，當0≤ λδ≤ l時，有 ω( f， λδ)≤( λ+1) ω( f， δ)。將 ω( f， δ)看作連續函數空間上的泛函，則它具有半范數的性質，也即滿足 。連續模不可能太小，對於 δ→0，若 ，則 f是個常數，從而 ω( f， δ)恒等於零。

　　連續模的性質①②和③是本質的，倘若定義在[0，l]上的函數ω(δ)滿足這三個性質，則它必然是[α，b]上的某個連續函數的連續模。故常稱具有性質①②和③的函數為連續模函數。

　　如果對於任意的x，y∈[α，b]和α≥0，β≥0，α+β=1，函數g(x)滿足不等式α(g(x)+βg(y)≤g(αx+βy)，則稱g在[α，b]上是凹(上凸)的。如果在[0，l]上滿足ω(0)=0的連續的增函數ω(x)是凹（上凸）的，則它必然是連續模函數。當然，連續模未必是凹的，但是，對於每個連續模函數ω(x)(0≤x≤l)，都存在凹的連續模函數ω₁(x)使得

ω(x)≤ω₁(x)≤2ω(x) (0≤x≤l)。

　　作為連續模的直接推廣是光滑模。設r是自然數，對於[α，b]上的連續函數f(x)，稱

為 f的 r階光滑模，其主要性質是，對於 λ＞0，有

。

若 f有 r階連續導數，則

式中с _r與с是與 f及 δ無關的正數。