刻畫幾何圖形拓撲性質的一種數。通俗地說，它是確定整個圖形中點的位置所需要的座標（或參數）的個數。直線上的點由一個座標確定，故直線的維數為1。平面上的點由兩個座標確定，故平面的維數為2。同理，日常所指的空間，其維數為3。當整個圖形為一個點時，點的維數假設為0。在19世紀前，幾何學僅從事三維或低於三維圖形的研究。19世紀以來，更高維空間的概念開始被接受。例如，日常的三維空間中點的座標是(x，y，z)，再加上時間坐標t，就得到點(x，y，z，t)，它們組成的空間就是最簡單的四維空間。
抽象空間的維數 嚴格地講，上面關於維數的定義是含混而帶描述性的。1890年，G.皮亞諾令人吃驚地構造瞭一條能填滿正方形的“曲線”（見拓撲學）。若按上面的說法，正方形的維數就會是1，這是不合情理的。20世紀初，隨著處理抽象空間的拓撲學的發展，維數的嚴格定義顯得更必要瞭。1912年，（J.-）H.龐加萊指出，若在曲線上標出一點，曲線通常就被分離成兩段，螞蟻從其中一段出發爬行，不接觸該點就無法進入另一段。因為曲線由點（0維）分離，故曲線的維數大於0而為1。曲面就不能由點分成這樣兩塊，但可以用曲線分離，從而曲面的維數應高於曲線的維數。此外，立方體不能被點或曲線分離，但可以用曲面分離，故立方體的維數為3。基於這種歸納的想法，20世紀初L.E.J.佈勞威爾以及稍後的E.切赫給出瞭維數的嚴格定義，即大歸納維數。K.門傑及∏.C.烏雷松把上述思想局部化以後，得到另一種維數定義，稱為小歸納維數。H.L.勒貝格發現，可以用充分小的矩形把正方形覆蓋起來，使得每一點至多屬於三個小矩形，且至少有三個要相交。n維空間的方體也有類似的特性，不過這時每一點至多屬於n+1個小方體。這個事實就導致E.切赫定義瞭第三種維數，即覆蓋維數（也稱勒貝格維數）。∏.C.亞歷山德羅夫定義瞭第四種維數，即同調維數。
小歸納維數 空間x的小歸納維數記作 indx。若ø為空集，令indø=-1，若對於x的每一點x以及它的開鄰域U，存在x的另一個鄰域V，使得V⊂U且ind(V\V)≤n-1，則稱indx≤n。若indx≤n且indx≤n-1不成立，則稱indx=n。
大歸納維數 空間x的大歸納維數記作Indx。同樣，規定Indø=-1。若對x的任意閉集A以及它的開鄰域U，存在A的開鄰域V，使得V⊂U且Ind(V-V)≤n-1，則定義Indx≤n。若Indx≤n且Indx≤n-1不成立，則稱Indx=n。
覆蓋維數 若空間x的任意有限開覆蓋有其階數小於n+2的有限開覆蓋加細則定義diтx≤n。如果這時dimx≤n-1不成立，則稱diтx=n。所謂覆蓋的階數小於n是指該覆蓋中任意n個元之交為空集。
同調維數與上同調維數 設x是緊豪斯多夫空間，G是可換群，定義x的同調維數Dh(x，G)≤n，如果x關於任意閉集A的n+1維切赫相對同調群Ȟn+1(x，A;G)=0，這時若Dh(x，G)≤n-1不成立，則稱Dh(x，G)=n。用切赫相對上同調群Ȟn+1(x，A;G)來代替Ȟn+1(x，A;G)，則得到x的上同調維數Dc(x，G)的定義。
維數論 維數論中最基本的問題，是研究如何對每個空間指定一個確定的整數（即維數），使得n維歐氏空間的維數為n；若Y是空間x的子空間，則Y的維數不超過x的維數；同胚的空間具有相同的維數。上述維數的定義，基本上都符合這些要求。維數論中另一個重要課題是比較各種維數的定義。對可分度量空間而言，前三種定義是等價的。若Y是度量空間，則
indx≤Indx=dimx，而indx可能與此不等。對於緊致度量空間，如果dimx有限，則dimx=Dc(x;Z)=Dh(x；K)，這裡Z是整數加群，K是模1實數加群。此外，所謂維數的和定理、單調性定理、積定理的研究都是維數論的傳統課題。特別是無限維空間的維數論在近年得到重視，已開始成為維數論的中心課題。
參考書目
W.Hurewicz and H.Wallman，Dimension Theory，Princeton Univ.Press，Princeton，1948.