微積分學

　　研究函數的微分、積分以及有關概念和應用的數學分支。微積分學是建立在實數、函數和極限的基礎上的。

　　簡史　極限和微積分概念可以追溯到古代。在中國，西元前4世紀桓團、公孫龍等所提出的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”；西元3世紀劉徽，西元5～6世紀祖沖之、祖暅對圓周率、面積及體積的研究，都包含著極限和微積分概念的萌芽。在歐洲，西元前3世紀歐幾裏得在《幾何原本》中對不可公約量及面積與體積的的研究（包含公元前4世紀歐多克索斯所得到的成果），公元前3世紀阿基米德對面積與體積的進一步研究，也都包含著上述萌芽。

　　歐洲文藝復興以後，資本主義開始發展，到瞭16世紀，由於航海、機械制造以及軍事上的需要，運動的研究成瞭自然科學的中心問題。於是在數學中開始研究各種變化過程中變化著的量（變量）間的依賴關系，引進瞭變量，形成瞭數學中的轉折點。在伽利略、R.笛卡兒（F.）B.卡瓦列裡、P.de費馬、G.P.羅貝瓦爾、E.托裡拆利、J.沃利斯、I.巴羅和J.格雷果裡的數學著作中，都包含著微積分中的初步想法。

　　在17世紀後半葉，I.牛頓和G.W.萊佈尼茨完成瞭許多數學傢都參加準備過的工作，分別獨立地建立瞭微積分學。他們建立微積分的出發點是直觀的無窮小量，理論基礎是不牢固的。因此這門學科早期也稱為無窮小分析，這正是現在數學中分析學這一大分支名稱的來源。

　　直到19世紀，A.-L.柯西和K.（T.W.）外爾斯特拉斯才把微積分學建立在極限理論上，J.W.R.戴德金和G.（F.P.）康托爾等建立瞭嚴格的實數理論，使極限理論有瞭鞏固的基礎，於是這門學科才得到瞭嚴密化。

　　20世紀60年代，A.魯賓孫奠定瞭無窮小概念嚴格的理論基礎，建立瞭嚴密的無窮小理論體系作為分析學的基礎，他把這種分析學稱為非標準分析。

　　函數與極限　函數是微積分學中的一個基本概念，可是直到19世紀30年代P.G.L.狄利克雷才把它完全闡明。設x及Y是兩實數集。如果有一個法則f存在，使得x中每一個值x，在Y中有一個確定的值y相對應，就說在x上確定瞭一個在Y中取值的函數，或說確定瞭一個從x到Y的映射，記作y=f(x)，或記作f：x→Y，或x

f( x)。 x叫做自變數，自變量或原像， y叫做 x的函數、因變數、因變量或像（原像及像是對映射這一名詞而言）。 x叫做函數的定義域或定義集， Y中所有 f( x)構成的集叫做函數的值域或值集。在平面上取直角坐標系 O x y，那麼可以在這平面上作出函數 y= f( x)的圖形，即坐標為 x及 y= f( x)的所有點的集合（圖 1 ）。

　　在自然界中，像函數這樣的數量關系是普遍存在的。例如在溫度固定時，已給氣體的體積決定於它的壓強;不計空氣阻力時，自由落體下落的距離決定於下落的時間，等等，這些都是函數概念在實際中的來源。

　　設自變數x在函數的定義域中變動而與x₀無限接近時（不論x₀是否屬於f(x)的定義域，x≠x₀而無限接近於x₀），相應的函數值y=f(x)與數A無限接近，就說當x趨近於x₀時，f(x)的極限為A，或f(x)趨近於A，記作

設 x ₀是 y= f( x)的定義域中一點，如果

就說 f( x)在 x ₀連續。如果 f( x)在其定義域的某一部分中的每一點連續，就說 f( x)在這部分連續。由上述極限的意義，所謂 f( x)在 x ₀連續，就是說當 x與 x ₀相差很小時，相應的 f( x)與 f( x ₀)也相差很小。在自然界中，會經常遇到連續和不連續的過程，函數連續性的定義正是由此抽象出來的。

　　微分學　微分學的一個基本概念是導數概念，它的經典物理原型是瞬時速度。自由落體在時刻t所降落的距離是

把這距離表示為 f( t)，其中 g是重力加速度，那麼落體在時刻 t的瞬時速度（簡稱速度），即距離對時間的變化率是

式中Δ t叫做 t的增量。

　　一般說來，考慮函數y=f(x)。設x及x+Δx都是定義域中的點。如果下列極限存在：

　　　　(1)

那麼就把它叫做 y對 x的導數，記作 或 f′( x)。

　　導數有幾何意義。設y=f(x)的圖形如圖1所示，A及A′的坐標分別是(x，f(x))及(x+Δx，f(x+Δx))，則

是 A A′的斜率。若極限(1)存在，當 A′沿著曲線趨近於 A時，割線 A A′趨近於一個極限位置。在這位置的直線 T叫做曲線 y= f( x)在 A點的切線，其斜率是 f′( x)。

　　導數是函數對自變數的變化率，因此它是研究變量之間依賴關系的重要工具。如果自變是時間，函數是距離或力做的功，那麼導數就分別是速度或功率。上面已經舉出瞭速度的例子。許多實際問題可化為求解某一函數及其導數所滿足的方程，即微分方程（常微分方程）。研究這種方程是微積分學的一種發展。

　　導數可用來研究函數的圖形。由圖1還可看出，如果函數y=f(x)的圖形在某點的縱坐標達到極大值或極小值，那麼在這點，圖形的切線與x軸平行，從而相應的導數是零，因此可以借助導數求出某些函數的極大值和極小值。

　　積分學　設函數y=f(x)的定義域是實數α及b(α＜b)及其間所有實數構成的集，即閉區間[α，b]。設這函數的值域包含在一個閉區間內，即它是有界函數。用任意n-1個點x₁，x₂，…，x_n-1（α=x₀＜x₁＜x₂<…＜x_n-1＜x_n=b）把[α，b]分成n個閉區間[x_i，xⁱ⁺¹](i=0，1，…，n-1)，並且在這些閉區間中分別任意取一點ξ_i，作和式

如果不論 x _i及ξ _i是怎樣選取的，當 x - x _j中最大一數無限接近（趨近）於零時，Σ無限接近（趨近）於一有限數 I，那麼就說有界函數 f( x)在[ α， b]上可積， I是它在[ α， b]上的定積分，記作

可以證明，在[ α， b]上連續的函數必然可積。

　　上述有界函數可積及它的定積分的定義是（G.F.）B.黎曼完全闡明的。因此這樣的可積函數稱為黎曼可積函數，相應的定積分稱為黎曼積分。

　　上述積分可以推廣到f(x)的定義域是無窮區間（即[α，+∞)，(- ∞，α]或(- ∞，+∞)，其中α為實數)或f(x)不是有界函數情形。相應的積分稱為無窮積分或瑕積分，統稱廣義積分。

　　黎曼積分有明確的幾何意義。圖2

中函數 y= f( x)隻取正值，那麼Σ表示圖中 n個小矩形的面積之和，也就是 y= f( x)， x= α， x= b及 y=0所圍成圖形的面積的一個近似值，而定積分 I是它的精確值。事實上，求面積（或體積）正是積分學的一個主要來源。

　　通過前述定義來求黎曼積分的值，是很復雜的。對於許多重要情形應用下述定理，可以比較容易地算出定積分。

　　微積分基本定理　

　　① 如果黎曼積分

存在，並且對於[ α， b]中任一點 t， 那麼隻要 x ₀在[ α， b]中，並且 f( x)在 x ₀連續，就有 F′( x ₀)= f( x ₀)。

　　②如果黎曼積分

存在，並且有一函數 F ₁( x)，其導數是 f( x)，那麼

　　這一定理之所以稱為微積分基本定理，是因為它揭示瞭微分與積分的內在的本質的聯系，顯示瞭它們之間的互逆性質，表明瞭它們實際上是同一問題的兩個方面。

　　證明微積分基本定理的想法可以從幾何圖形直觀看出。設y＝f(x)是[α，b)]上的正連續函數，其圖形見圖3

。在[ α， b)]中取 t及 t+Δ t。那麼

是 y= f( x)， x= α， x= t(或 x= t+Δ t)及 y=0所圍成圖形的面積。於是 F( t+Δ t)- F( t)是 y= f( x)， x= t， x= t+Δ t及 y=0所圍成圖形的面積。當Δ t充分小時，這圖形的面積與圖3中矩形的面積 f( t)Δ t充分接近，由此可以想象到

於是得到證明①的想法。

　　為瞭證明②，註意到由①及F₁^′（x）=f（x）可推出F₁(x)=F(x)+C（C是常數，其導數是0）。其次，由F₁(b)=F(b)+C及F₁(α)=F(α)+C=C可推出F(b)=F₁(b)-F₁(α)。

　　在②中，F₁(x)叫做f(x)的一個原函數或不定積分。於是隻須知道f(x)的一個原函數或不定積分，就可求出f(x)在[α，b]上的定積分的值。對於某些初等函數，其原函數或不定積分可以求出。由此容易算出這些函數在某些閉區間上的定積分。

　　積分可用來計算平面圖形的面積、曲線弧長、曲面面積、立體體積等；也可用來計算一些物理量，如重心的坐標、轉動慣量、變力作的功等；還可用來描述概率及統計中的各次矩。微分方程的求解也必須使用積分。

　　多元函數微積分學　在前面所給出的函數定義中，如果取x為實數有序對的集或坐標平面上的點集，Y仍為實數集，就得到二元（變數）函數y=f(x₁，x₂)的定義。還可考慮n元（變數）函數

n是任一大於2的自然數。微積分學可推廣到多元函數，並且引進偏導數、二重積分及多重積分等概念。20世紀以來，多元函數的微積分及流形上的微積分有較大的發展。

　　進一步的發展　自從微積分開始建立以來，從一些實際問題出發，建立瞭種種數學分支。①常微分方程。②偏微分方程，即多元函數及其偏導數所滿足的方程。③變分學。考慮一種定積分，其積分號下是自變數、因變數及它的一些導數的函數，例如

變分學研究使這類定積分達到極大或極小值的因變數。④積分方程，即未知函數出現在積分號下的方程。⑤無窮級數。⑥復變函數或復分析，即定義域及值域都是復數集的函數的微積分。

　　在19世紀末期，隨著微積分嚴密理論的建立，產生瞭集合論，在此基礎上建立瞭下列數學分支：⑦實變函數或實分析。把黎曼積分推廣成勒貝格積分、勒貝格-斯蒂爾傑斯積分（即拉東積分），並由此建立有關理論。⑧泛函分析。在“函數與極限”一段中所給出的函數及映射的定義中，如果取x為函數的集，這種映射稱為算子；特別，當Y是實數集或復數集時，它就稱為泛函。泛函分析是研究算子及有關極限性質的學科。在集合論、實變函數論和泛函分析的影響下，上面提到的6個分支也得到瞭重要發展，這些分支都以微積分為基礎，在研究中要系統采用極限方法；它們與微積分等分支都屬於分析學。微積分課程也叫做數學分析。

　　此外，在微積分的推動下，建立瞭微分幾何、拓撲學等數學分支。

　　微積分是與應用聯系著發展起來的，最初，牛頓應用微積分學及微分方程從萬有引力定律導出瞭開普勒行星運動三定律。微積分在天文學、力學、物理學、化學、生物學、工程學、經濟學等自然科學、社會科學及應用科學各分支中，有越來越廣泛的應用。特別是計算機的發明更有助於這些應用的不斷發展。

　　微積分學在中國的傳入和研究　前面已經指出，中國早在遠古就已有微積分概念的萌芽。在古代，中國數學長期保持著世界先進水平。在17世紀，歐洲數學開始傳入中國，到清康熙帝(1654～1722)時達到極盛。當時微積分由於剛剛創始，還沒有傳入中國。但在康熙帝死後，雍正帝在1723年下令，除留少數外國人在北京欽天監供職外，把其餘外國人都安置在澳門，於是中外數學交流暫時中斷，從而微積分學傳入中國推遲到鴉片戰爭以後；至於中國數學傢開始在這方面作出貢獻，則更推遲到20世紀20～30年代以後瞭。

　　

參考書目

　恩格斯著：《自然辯證法》，人民出版社，北京，1971。

　錢寶琮著：《中國數學史》，科學出版社，北京，1963。