一類給定在半無窮區間上的帶差核的奇異積分方程，其一般形式為
(1)
式中
μ為常數;
k(
x)(-∞＜
x＜+∞)和
f(
x)(0≤
x＜+∞)為已知函數；
φ(
x)(0＜
x＜+∞)為未知函數。
方程(1)的研究開始於20世紀20年代初，它早期的著名例子是輻射傳輸理論中的米爾恩方程，後來因1931年N.維納和E.霍普夫給出其求解方法而得名。20世紀40年代以後，這一方程的理論在解析函數邊值問題、調和分析和算子理論的基礎上得到瞭系統的發展，其應用也從輻射問題擴展到許多其他領域，例如中子遷移、電磁波衍射、控制論、多體問題以及人口理論等。
維納-霍普夫方法 又稱因子分解法，是N.維納和E.霍普夫為求解方程(1)而提出的，已成為研究各種數學物理問題的一種常用方法。其基本思想是通過積分變換將原方程化為一個泛函方程，然後再用函數因子分解的方法來求解。下面以方程(1)的求解為例來加以說明。在x＜0處，令φ(x)=f(x)=0，首先將方程(1)開拓到整個實軸，即
式中
若（2）中諸函數滿足適當的條件，例如，存在
h＞0使得
k(
x)
e
，
φ(
x)e
h
x和
f(
x)e
h
x屬於
L
1(-∞，+∞)，則借助於
傅裡葉變換由(2)可得
這裡和下文大寫字母均表示相應函數的傅裡葉變換，而大寫字母的下標+和－則分別表示該函數在半平面τ>－
h和τ＜
h內解析。在許多情況下，對(3)可求出解的表達式。求解的關鍵在於將
H(
λ)=
μ-
K(
λ)因子分解。一個常用的分解定理是，設
H(
λ)在｜
λ｜＜
h內解析、無零點且一致地有
則存在分解
式中
H
+(
λ)和
H
-(
λ)可由
H(
λ)求出，它們在相應半平面內無零點。由於在所述條件下，
F
+(
λ)/
H
-(
λ)在｜τ｜＜
h內解析，
由柯西積分公式知，
這裡
C
+(
λ)和
C
-(
λ)可用
來表示，因而由(3)得到
由此利用解析開拓和廣義劉維爾定理求出φ
+(
λ)和
ψ
-(
λ)（準確到相差一個整函數），然後再對φ
+(
λ)進行傅裡葉逆變換即可求得方程(1)的解
φ(
x)。
當僅假定k(λ)∈L1(-∞，+∞)和μ-K(σ)≠0(-∞≤σ≤+∞)時，μ-K(σ)也有類似分解，這時需要用到調和分析理論中的維納－萊維定理。由此應用巴拿赫空間中的算子理論，還可在一般函數空間，例如
有界可測函數空間和有界連續函數空間中對方程(1)進行求解。
主要結果 用E記上述函數空間。方程(1)的一個重要特點是其中積分僅是相應函數空間中的有界算子，而不是全連續算子，因此它和弗雷德霍姆積分方程在性質上有著本質的不同。這主要表現在：①齊次方程(1)和它的共軛方程線性無關解的個數一般不相等，它們的差等於
整數
v(
μ)稱為方程(1)的指標；②方程(1)的譜點一般為連續統，其中復平面閉曲線
μ=
K(
σ)(-∞≤
σ≤+∞)上的點為本質譜，亦即對於全連續算子微擾不變的譜，而使得
v(
μ)>0的點
μ為方程(1)的點譜。
函數μ-K(σ)稱為方程(1)的符號。當符號無零點時，方程（1）稱為正常的，否則稱為例外的。對於正常方程，已經有瞭較系統的結果，其中主要有：① 設k（x）∈L1(-∞，+∞)，則方程(1)在E中滿足諾特定理(見奇異積分方程)的充分必要條件為μ-K(λ)≠0(-∞≤σ≤+∞)，故正常方程有時也稱為諾特型方程；②當v(μ)>0時，齊次方程（1）在E中有v(μ)個線性無關解，v(μ)≤0時無非零解；③當v(μ)>0時，非齊次方程(1)在E中有v(μ)個線性無關解，v(μ)=0時，有惟一解，v(μ)＜0時，無解或有惟一解，有解的充分必要條件是其右端滿足條件
式中
ψ
k(
x)是方程(1)的共軛方程
的線性無關解。至於例外方程，也有不少結果，但尚無系統理論。
以上結果在作相應修改後，對於對偶積分方程、方程(1)的離散形式特普利茨方程以及有關方程組也都同樣成立。
參考書目
S.Prössdorf，Some Classes of Singular Equations，North-Holland，Amsterdam，1978.
B.Noble，Method based on the Wiener-Hopf Technique for the Solution of partial Differential Equations，Pergamon Press，London，1958.