描述無窮粒子系統的隨機場及隨機過程。
相變問題是平衡態統計物理中一個很重要的問題。經典的處理方法是研究有限粒子系統的吉佈斯態（平衡態）的某些函數（如序參數、比能等）當系統擴張成無窮粒子系統時的性質，從而得到有關相變的結論。由於相變問題本質上是無窮粒子系統的一種集體現象，20世紀60年代後期一些學者用現代概率理論直接定義無窮粒子系統的吉佈斯態(吉佈斯隨機場)。70年代初以來，又陸續提出瞭一些類型的馬爾可夫過程作為吉佈斯態的的動態模型，這就是無窮質點馬爾可夫過程。
吉佈斯態 它是描述無窮粒子系統的一種概率分佈，為易於理解，以伊辛模型為例來說明。
全體n維整點集記作Zn，設S是Zn的有限子集（參數集），它表示粒子所在的位置，每一u∈S處的粒子的狀態ηu=+1或－1，對任何u，v∈S，u≠v，有一數J(u，v)≥0(J(u，v)=J(v，u))與之對應，它表示u、v兩處的粒子相互作用的強度，這就是S上的一個伊辛模型。稱集
（
η
u取定+1或-1）是整個系統的一個組態(樣本點)，系統的全體組態集(樣本空間)用
x表示，令
表組態
η∈
x的能量，
決定
x上的一個概率測度，其中
β＞0為常數。概率
μ稱為由
J(
u，
v)決定的(有限)
S上的伊辛模型的平衡態，或稱吉佈斯態。如果令
，，
x
u為取值±1的
隨機變量，
μ為隨機向量{
x
u：
u∈
S}的一個概率分佈。類似地，對
S的任何非空子集
Λ，集
（
ξ
u取定+1或－1）表示
Λ上的子系統的組態，
Λ上的子系統的全體組態集用
x(
Λ)表示。經過計算可得：
命題 在S\Λ上的組態為ξ(∈x(S\Λ))的條件下，Λ上的組態ξ(∈x(Λ))的條件概率等於
式中
，
ξ∪ξ為
S上的組態。
這一命題啟示瞭直接定義S=Zn上的伊辛模型的吉佈斯態的途徑。直觀地說，它就是x上具有命題所述性質的概率測度μ，即對Zn的任何有限子集Λ，在Zn\Λ上組態為ξ（∈x(Zn\Λ)）的條件下，Λ上的組態ξ(∈x(Λ))關於μ的條件概率為由(1)定義的μΛ({ξ};ξ)。它的嚴格數學定義如下：設S=Zn，x，x(Λ)的定義仍如上，其中Λ不一定有限，J(u，v)還滿足條件
。於是對
S的任何有限子集
Λ及
ξ∈
x(
Λ)，ξ∈
x(
S\
Λ)，可按(1)定義
μ
Λ({
ξ};ξ)，對給定的ξ ∈
x(
S\
Λ)，它是
x(
Λ)上的概率測度。再令 F為包含一切形如 {
ξ∪ξ：ξ∈
x(
S\
Λ)}(
ξ∈
x(
Λ)，
Λ為
S的有限子集)的組態集的最小
σ域，它表示組態的事件
σ域；對給定的
Λ⊂
S，F(
Λ)為包含一切形如{
ξ∪ξ∪
ω：
ξ∈
x(
Λ
1)，
ω∈
x(
S\
Λ)}(其中
為有限集，ξ∈
x(
Λ\
Λ
1))的組態集的最小
σ域，它是F中那些在
Λ上就能觀察到的組態事件組成的
σ域。設
μ為F上的概率測度，如果對
S的任何有限子集
Λ，任何
ξ∈
x(
Λ)，條件概率（見
條件期望）
(2)
對
μ幾乎必然成立，則稱
μ為
S上伊辛模型的吉佈斯態。
如果令
則
x
u是(
x，F)上取值±1的隨機變量，F(
Λ)是隨機變量族{
x
u：
u∈
Λ}所產生的
σ域，吉佈斯態
μ是隨機過程{
x
u：
u∈
S}的分佈，對
S的任何有限子集
Λ，任何
ξ∈
x(
Λ)，
(2′)
對
μ幾乎必然成立。稱具有吉佈斯態的隨機過程{
x
u：
u∈
S}為
S上伊辛模型的吉佈斯隨機場。
伊辛模型的吉佈斯態總是存在的m它與函數J(u，v)及參數β有關，但是對給定的J及β，它未必惟一。如果對給定的J，存在βc∈(0，∞)，使當β＜βc時，吉佈斯態惟一，當β＞βc時，吉佈斯態不惟一，則稱此伊辛模型有相變，βc稱為它的臨界點。
從這樣定義的吉佈斯態出發，可以證明用經典方法得到的一些物理結果：①設J(u，v)=J(0，u-v)對一切u，v∈S，u≠v成立，若存在r＞0使對一切u∈S且│u│=1有J(0，|u|)≥r，則當n≥2時，伊辛模型有相變。②若當|u-v│=1時J(u，v)=1，當│u-v│≠1時J(u，v)=0，則稱相應的伊辛模型為緊鄰的。緊鄰伊辛模型當n=1時無相變，當n≥2時有相變；當n=2時，βc已算出（這是L.昂薩格1944年得到的一個著名結果），而對n≥3的情形，βc的值還不知道。求出n=3時的βc值是一個重要而未解決的問題。關於伊辛模型還有很多沒有解決的、在數學上值得研究、在物理上有意義的問題。
不限於伊辛模型，按照(2)的方式還可以定義十分廣泛的吉佈斯態與正則吉佈斯態以及相變的概念，大部分平衡態統計物理的模型都可以納入這個框架，而且已經得到它們的存在性與惟一性的一些條件。相變問題的研究尚有待深入。
無窮質點馬爾可夫過程 從統計物理來看，作為無窮粒子系統的平衡態的吉佈斯態應該是系統的某一可逆物理過程的定態。因此在概率論中提出瞭如下形式的問題：是否存在以(x，F)為狀態空間的馬爾可夫過程{ηt：t≥0}，它的分佈滿足下列要求：①對任何u，v∈S，u≠v，η∈x，當t→0時，有
(3)
式中
；②F上的概率測度
μ是伊辛模型的吉佈斯態，當且僅當以
μ為初始分佈的該過程是一個時間可逆的馬爾可夫過程。所謂時間可逆就是當時間“倒轉”時，過程的分佈不變，即對任何
任何
B
k∈F，
k＝0，1，…，
l，都有
。這個問題已經解決。對更一般的с(
u，
x)，由(3)決定的馬爾可夫過程稱為自旋變相（或稱生滅型）過程，它與排他（或稱粒子運動型）過程是最早提出的兩類無窮質點馬爾可夫過程。對自旋變相過程與排他過程的上述問題（可逆性問題），已經得到接近完整的結果；近年來，中國學者在這方面進行瞭工作。
無窮質點馬爾可夫過程雖然是由平衡統計物理引起的，但近年來不斷提出瞭新的模型。這些模型涉及非平衡統計物理、化學、生物、醫學以及社會科學。它的研究已進入非平衡系統的范圍，遍歷性理論是它的主要研究方向。這是概率論中一個值得註意的正在發展的新分支。
參考書目
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