借助於沃爾什函數系的逼近稱為沃爾什逼近。1922年出現瞭拉德馬赫爾函數，在工程上稱為開關函數。這是一個以1為週期的標準正交系。在基本區間[0，1)上它們的定義如下：φ0(x)=1，若0≤x＜1/2；φ0(x)=-1，若1/2≤x＜1。對任一自然數nn，
容易看出，對每個
n，
φ
n(
x)在[0，1)的2
個等分區間上交錯地取值1與-1。沃爾什函數系是拉德馬赫爾函數系的完備化，首先由美國數學傢J.L.沃爾什於1923年給出。如果把自然數
n依二進表示為
其中
則沃爾什函數
w
n(
x)的定義為
w0(x)=1，
式中乘積是對一切滿足
n
-
j=1的
j而取。系{
w
n(
x)}同樣以1為周期。例如，依二進制，13可表為13=2
3+
2
2+
2
0，故
，而有
。在工程上常用列率序的沃爾什函數。為此需要數的格雷碼。設對集{0，1}引用偽加運算如下：
而對任意兩個二進制實數
定義偽加
，這裡求和由-
N+1與-
L+1中較小者開始。一個自然數
的二進代碼是(
n
_
N
+1，…，
n
-1，
n
0)，它的格雷碼
G(
n)便是
對應的數是
，這裡約定
n
-
N=0。反之，如果知道瞭自然數
k的格雷碼
，則原來的數
k的二進代碼是
。
於是，列率序的沃爾什函數系就是｛
w
α
l
n(
x)｝，其中
。利用格雷反碼
G
-1(
k)，自然有
。在數學討論中以系{
w
k(
x)}為便，但在工程上則以列率序為便。下面列舉依列率序的沃爾什函數系的一些性質。
① 乘法公式 對任意k，j=0，1，2，…有
。
② 第二乘法公式 對[0，1)中每個y，除有限個點不計外，關於x都有
(
k=0，1，…)。
③ 在整個實軸上，除一個可列集不計外，wαl2k(x)是偶函數而wαl2k+1(x)是奇函數，k=0，1，…。此外，在周期區間[0，1)上，每個wαlk(x)的變號次數恰好是k，k=0，1，…。
④ 函數系{wαlk(x)}k=0，1，…構成[0，1)上的一個完備的標準正交系。
⑤ 函數系{wαlk(x)}k=0，1，…構成一個可換群。系中對每個n＝0，1，…，前2n個函數{wαl0(x)，wαl1(x)，…，wαl
(
x)}構成可換子群。
可將這些性質與正弦餘弦函數相比較。正是由於性質④，每個以1為周期的可積函數，都有沃爾什－傅裡葉展開式：
，
式中
它們稱為
f(
x)的沃爾什-傅裡葉系數。如果用
S
(
x)表示展開式的首2
n項部分和，那麼，在區間[0，1)上幾乎處處有收斂關系
。
當
f(
x)是平方可積時，像三角系情形一樣，有帕舍伐爾公式成立：
，
並且，展開式的部分和也幾乎處處收斂。一個有意義的例子是函數
x依沃爾什系的展開式
。
它處處收斂並有很好的應用，例如鋸齒波。在考慮逼近問題時，這樣的逐段光滑函數用沃爾什展開比用三角級數展開，一般顯得更為有效。
對任意整數p＞2，可以討論一般的p進沃爾什函數。還可以引進廣義沃爾什函數與沃爾什－傅裡葉變式。此外，如果引進所謂邏輯導數，就容易給出簡單的沃爾什-傅裡葉變式表。
設復數Aj=Aj(p)，j=0，1，…，p-1由公式
給出，式中
在定義於[0，∞)上的復值函數。若在這區間上一點
x處，和
當
N→∞時收斂，則極限值稱為
f(
x)在
x的邏輯導數，並記為
f
＜1>(
x)。邏輯導數與平常導數的作用頗為類似。例如，對於指數函數
e
i
t
x，它對
x的平常導數是i
te
i
t
x。對於廣義沃爾什函數
w(
t，
x)，關於
x的邏輯導數有
等等。可以用邏輯導數存在的程度來刻畫函數性質而得到一種分類法，這在逼近論中特別有用。在這裡存在邏輯導數意味著具有某種“光滑性”。整個理論構成瞭
p進域的分析學。尤其有趣的是，最佳逼近論中的正、逆定理，各種逼近算子的逼近性態與型可以同樣建立，在方法論上顯示它自身的特色。現代半導體技術與集成電路的快速發展，使沃爾什函數的產生與應用有瞭物質基礎。快速沃爾什變換比快速傅裡葉變換省時。在信息論、線性系統、通信、電視、雷達與計算機等方面，沃爾什分析都有或將有廣泛的應用。沃爾什分析形成瞭非正弦分析的一個極為重要的方向。在理論上它直接通向局部緊群上調和分析。
參考書目
鄭維行、蘇維宜、任福賢著：《沃爾什函數理論與應用》，上海科學技術出版社，上海，1983。
鄭維行、蘇維宜：Walsh分析與逼近算子，《數學進展》，第12卷，第2期，1983。