穩健統計

　　數理統計學的一個方面，研究當總體假定稍有變動及記錄資料有失誤時，統計方法的適應性問題。一個統計方法在實際應用中要有良好的表現，需要兩個條件：一是該方法所依據的條件與實際問題中的條件相符；二是樣本確是隨機的，不包含過失誤差，如記錄錯誤等。但實際應用中這些條件很難嚴格滿足，比方說，原來在提出該方法時是依據總體分佈為正態分佈的假定，但實際問題中總體的分佈與正態略有偏離；或在大量的觀測資料中存在受到過失誤差影響的“異常資料”等。如果在這種情況下，所用統計方法的性能能僅受到少許影響，就稱它具有穩健性。

　　穩健性一詞是G.E.P.博克斯在1953年提出的，但關於穩健性的思想，可追溯到20世紀初期，有些穩健性統計方法，如下文提到的修削平均，使用還要早些。從1960年J.W.圖基發表他的工作以來，這方面的工作得到更多統計學傢的重視。1964年P.J.休伯發表瞭他關於M估計的工作，進一步推動瞭它的發展。到1980年為止關於這方面的工作，已由休伯寫成專著。

　　對總體分佈的穩健性　設當總體分佈為F時，統計方法T的某項性能指標為A_T(F)，例如，T可以是F的數學期望的估計，而A_T(F)為T的方差;若在某項實際應用中，真實的總體分佈為F^*，而該項性能指標取值A_T(F^*)。以距離p(F，F^*)刻畫F與F^*的差異，比如，p(F，F^*)可以是｜F(x)-F^*(x)｜對x取的最大值。如果當P(F，F^*)充分小時，｜A_T(F)-A_T(F^*)｜也充分小，則稱方法T具有對總體分佈的穩健性。可見，統計方法的穩健性與考慮的性能指標有關，也與分佈的距離p(F，F^*)的定義有關。因此，怎樣定義適當的距離p(F，F^*)，研究各種距離的性質及相互關系，怎樣選擇適當的性能指標作為衡量穩健性的依據等，是穩健統計研究的一方面的內容。

　　通常使用的很多統計方法，是在總體分佈為正態的前提下導出的，理論上也證明瞭，在正態總體的情況下這些方法具有某種優良的性能。但在大多數具體問題中，正態假定往往隻是近似地滿足，若一個統計方法缺乏穩健性，則它理論上可能有某種優良性能，而在實際應用中卻表現很差，甚至面目全非。因此，穩健性的研究是一個有很大實際意義的課題。

　　圖基在1960年提供瞭這樣的例子：設x₁，x₂，…，x_n是抽自正態總體N(μ，σ²)的樣本，要估計σ，常用的估計量

是 σ的最大似然估計（見 點估計），它有一系列的優良性質。另一個可供選擇的估計量是平均絕對偏差

如果以估計量的方差來衡量其優良性（方差愈小愈好），則當總體分佈確為 N( μ， σ ²)時，捛 _n優於 d _n，因為可以算出，當 n→∞時，捛 _n的方差與 d _n的方差之比值趨於0.876，比1小。但是，如果實際問題中的總體被一個方差較大的正態總體 N( μ， 9 σ ²)所“污染”，即有一個很小的 ε>0，使真實的總休分佈為 ，其中 是標準正態分佈函數，則可以算出，當ε=0.05時，捛 _n和 d _n的方差比的極限超過2。就是說，即使像0.05這麼小的污染程度也足以使捛 _n遠不如 d _n的一半。因此捛 _n作為 σ的估計穩健性較差，而相對地說 d _n的穩健性就較捛 _n好。

　　理論研究表明：像F檢驗(見假設檢驗、方差分析)之類的與總體方差有關的統計方法，其性能多與總體的正態性有較強的依賴關系，穩健性較差；而與總體均值有關的統計方法，如t檢驗之類，穩健性相對說來要好一些。

　　對異常數據的穩健性　由於在大量次數的試驗或觀測中，很難完全避免出現個別疏忽，因此，要使統計方法有較好的穩健性，就必須要求，它所依據的統計量不受個別異常數據的太大影響。一個典型的例子是用樣本均值或樣本中位數（見統計量）去估計正態分佈的均值，前者受個別異常數據的影響較大，而後者則幾乎不受到影響，故從穩健性角度看，後者優於前者。介於兩者之間的有所謂修削平均，即給定自然數k＜n/2（n為樣本大小），把全部樣本x₁，x₂，…，x_n中最大的k個和最小的k個舍棄，餘下的n-2k個的算術平均值稱為修削平均值，k愈大，修削愈多，如果有少量異常數據混入，則在修削時被舍棄瞭，因而不致造成危害。這是一個較早的穩健統計方法，但被廣泛使用。

　　為獲得對異常數據的穩健性，有兩個途徑：一是設計出有效的方法以發現數據中的異常值，從而把它們剔除。這已成為數理統計學中的一個重要課題，積累瞭不少成果。另一個途徑是設計這樣的方法，使樣本中的個別數據不致對最終結果有過大的影響，如用最小二乘法求參數估計時，是根據使偏差平方和為最小的原則，從而若有個別偏差特大的數據，其對結果的影響很大，故基於最小二乘法的統計方法的穩健性一般較差，若改用絕對偏差和最小的原則，則穩健性有所改善。

　　穩健性與效率　使統計方法具有穩健性，在一定的意義上可以看成是一種“保險”：付出一定的保險費，以避免遭受重大損失，保險費就表現為方法在效率上的降低。例如，用樣本中位數估計正態分佈均值，在穩健性上比用樣本均值好；但如情況沒有異常，即總體分佈確為正態，並且無異常數據，則樣本中位數以方差大小衡量的效率，約隻有樣本均值的三分之二。穩健統計的一個任務，就是設計有穩健性的統計方法，而使其在效率上的損失盡可能小。

　　與非參數統計的關系　非參數統計方法往往有較好的穩健性，而一些穩健統計方法常要用到非參數性質的統計量，因此二者關系密切。但從性質上看二者是不同的：非參數統計中，對總體分佈的假定很少；而穩健統計則一般是從一個確定的參數性模型（如正態模型）出發，考慮當模型條件有少許擾動時的後果。因此，穩健統計本質上屬於參數統計的范疇。

　　

參考書目

　P.J.Huber，Robust Statistics，John Wiley &Sons，New York，1981.