聯絡論

　　定義在纖維叢上的一個重要的微分幾何概念，它起源於黎曼流形的列維-齊維塔聯絡，後來被擴充到一般的具有流形結構的纖維叢上去，對研究各種幾何空間的性質，確定纖維叢的拓撲結構，都有重要作用。它還和理論物理中的規範勢等價。

　　局部向量叢（乘積向量叢）上的聯絡　設U是微分流形上的一個座標鄰域，局部座標為x=(x¹，x²，…，xⁿ)，F是一個m維實(或復)向量空間，稱

為以 U為底 F為標準纖維的乘積叢。由於 F是向量空間， U× F是一個乘積向量叢。 為 U× F到 U的投影算子。設有可微分映射 σ： U→ U× F使

，就稱映射 σ為一截面(也可稱為向量場)。若 σ ₁， σ ₂，…， σ _m是 m個截面，相應的 φ ₁( x)， φ ₂( x)，…， φ _m( x)對每一 x均為線性無關，就稱{ σ ₁， σ ₂，…， σ _m}為一個截面基，簡稱基，那麼任何一截面 σ( x)均可表示為

。叢 U× F的線性聯絡關於取定的一個基{ σ _α}是由一系一次微分形式

所定義的，Г 稱為這個聯絡關於基{ σ _α}的聯絡形式， 稱為聯絡系數。線性聯絡可起如下的作用。

　　① 利用它可作出截面的協變微分：

(1)

而

，(2)

稱為截面 σ的協變導數。更一般地說，若 是 U的一個切向量，則

稱為 σ關於切向量的協變導數。為保持D σ( x)和▽ _i σ與基的選取無關起見，在以基{ α}來代替{ σα}時 · 相應的聯絡形式 慘 和Г 之間應滿足下面的關系：

， (3)

這裡ã 是 A=( α )的逆陣 A ^-1的元素。(3)稱為聯絡形式在基變換下的變換規則。

　　② 用聯絡可以定義U×F上的元素依底空間U上的曲線C：x=x(t)的平行移動。若(x(t)，v^α(t))是U×F中依賴於t的一列元素而v^α(t)滿足

(4)

則稱這一列元素依 C平行移動，或稱 U× F上的曲線 C ₁：( x( t)， v ^α( t))是 U中曲線 C的水平提升。

　　以Г

為元素作 m× m陣Г=[Г ]，則聯絡就成為取值於李代數 gl( m， R)（或 gl( m， c)）的一次微分形式，這時(3)可寫成為

(5)

的形狀。又稱

(6)

是線性聯絡的曲率形式，這裡∧是外積， 對固定的 i， j而言是 m× m陣。

　　線性聯絡的一個最重要的特殊情形是黎曼流形的列維-齊維塔聯絡或稱黎曼聯絡（見黎曼幾何學）。設U是黎曼流形M的一坐標鄰域(假設它與球內部相同胚)，考察U上各點x的切向量的全體得出一個以U為底的乘積叢U×F，它是M的切叢TM的一個部分，其中元素為(x，v)，x∈U，v屬於一個n維向量空間，當x固定時，(x，U)構成x點的切空間T_x。U×F的截面就是U上的切向量場。又選取

為截面的基（稱為自然標架），那麼，列維-齊維塔聯絡由 來表示，這時聯絡系數由

(7)

決定，此即第二類克裡斯托費爾記號。式中 g _jk， g ^il是黎曼流形上度量張量的反變和協變形式。上述的平行移動、曲率等概念就和黎曼幾何中的意義相一致。如不采取自然標架，而采取另外的基{ e _i}，利用(5)就可以得到相應的聯絡形式。特別，如選取 e _i，使它們在各點都是單位、正交的（即選取正規正交標架），那麼Г就是反對稱陣，即Г取值於正交群的李代數，這時每點 x的切空間具有歐氏結構，即正交群作用下不變的結構。

　　向量叢上的聯絡　以微分流形M為底的向量叢

M是由一些乘積向量叢粘合而成的(見 纖維叢)。設 M為一些坐標鄰域所覆蓋， M=∪ U _p( p=1，2，…)，每一 U _P上有一乘積叢 U _p× F，設 ，將 U _p× F _p中元素( x， V _p)和 U _q× F中的元素( x， V _q)等同起來，如果它們滿足

V_p=g_pqV_q，g_pq(x)

就被稱為轉換函數，是取值於 Gl( m， R)(或 Gl( m， C))的函數，且當 時成立

經過這樣的粘合，便得到整體的向量叢。例如， M的切叢 T M就是由每個在 U _p上的切叢粘合而成。

　　如果每個U_p×F_p上有聯絡形式Г，而且在

時，在其上成立

那麼在 上就有一整體的線性聯絡，照樣可以定義截面 σ及其關於切向量場 X的協變導數 。 的截面是 M到 E的一個映射 σ，使 π σ是 M上的恒等映射。設 σ是一截面， X是 M的切向量場，則 仍是一個截面，它們在每一 U _p× F的表達式由(2)及 給出，而在粘合之處(即 U _p∩ U _p≠ φ)，它們是一致的。如把所有可微分截面的集合記為 ，那麼

的一個映射，並且有如下的特征：設 X， Y是 M的切向量場， φ，ψ∈ C ^∞( M， E)， λ( x)是 M上的 C ^∞函數，那麼

反之也可以從這4個性質出發，來作出向量叢上聯絡的定義。

　　照樣可以把水平提升的概念，曲率的概念整體地定義到向量叢上來。

　　如果可以選取局部基截面，使轉換函數屬於Gl（m，R)（或Gl(m，C)）的某一子群G，即g_pq屬於這子群G，就稱向量叢可化約為群G的向量叢。若聯絡形式也取值於群G的李代數g，就稱這個聯絡為化約於群G的聯絡。

　　主叢上的聯絡　設U×G={(x，u)│x∈U，u∈G}是一個局部乘積叢，這裡G是一個李群，π：(x，u)

x稱為投影，可用取值於 G的李代數 g上的一次微分形式

來定義一個聯絡，以

部曲率形式。但為瞭整體描述方便起見，取

聯絡的坐標表示，這裡 u ^-1du是群 G的左不變形式， αd是伴隨表示。

　　當M=∪U_p，把

粘合起來便得主叢 P，這時若 x∈ U _p∩ U _q，把( x， u _p)和( x， u _q)視為同一元素，但 u _p和 u _q之間要由轉換函數 u _p= g _pq u _q所聯系(這裡 g _pq取值於 G，滿足

，在每一 U _p× G上，聯絡形式由

在 U _p∩ U _q處， 與悧 之間應有關系

U _p∩ U _q處 θ _p= θ _q，所以聯絡確實可以用 θ來表示。曲率也可寫成

。

形 M是仿緊空間（見 拓撲空間）時，主叢上的聯絡是一定存在的。

　　M上的曲線C∶x=x(t)按微分方程

可以決定主叢 P上的一條曲線，稱為 C的水平提升曲線，水平提升曲線的切向量稱為水平向量。 P上每點的水平向量全體構成 P在該點的切空間的一個 n維子空間，稱為水平子空間。 P上的聯絡也可以由在各點給定的、符合一定條件的水平子空間所定義。

　　M上以定點x為始點和終點的分段可微閉曲線，其水平提升相應於在π^-1x上群G的一個右作用。所以每一條以x為端點的分段可微閉曲線對應群G的一個元素，且為同態，稱這同態為和樂映射，其群為和樂群。

　　和樂群是研究主叢聯絡的一個重要工具。已經證明，由和樂群出發可以重建主叢的拓撲結構和聯絡本身。

　　聯絡論的作用　聯絡在微分幾何和理論物理中有很多作用。

　　①（C.）F.克萊因在埃爾朗根綱領中把幾何空間看成群的作用空間，且作用是可遷的，把幾何性質看成群作用下的不變的性質。在此觀點下，歐氏空間，仿射空間，射影空間與共形空間等等都有相應的可遷變換群。黎曼流形是彎曲空間且在其上一般沒有可遷變換群作用，因而黎曼流形不在克萊因的幾何空間之列。但從纖維叢的觀點，黎曼流形上各點的切空間仍然是克萊因意義下的幾何空間，這時各點的切空間之間由聯絡來建立聯系(要通過曲線的水平提升)。從而對於種種克萊因意義下的幾何空間，都可作其相應的聯絡空間，如仿射聯絡空間，共形聯絡空間，射影聯絡空間等等，這是克萊因理論的一大發展，這種概念首先是由É嘉當提出的。

　　② 通過聯絡可以作出曲率，利用曲率可以作出纖維叢上的示性類，它們是流形M上的閉形式，這些示性類（其積分稱為示性數）是研究纖維叢的拓撲性質的重要工具。這是陳省身等人的貢獻。

　　③1954年物理學傢楊振寧等提出瞭規范場理論，它在研討自然界四種基本作用力的規律中起瞭極為重要的作用。實際上，規范勢相當於聯絡，場的強度相當於曲率，截面相當於波函數，示性數表示某些物理量（如磁荷，瞬子數等）。20世紀70年代起，纖維叢聯絡論和規范場論的相互溝通對數學和物理學都起瞭巨大的推進作用。