1900年8月，德國數學傢D.希爾伯特在巴黎舉行的第二屆國際數學傢大會上作的“數學問題”的報告中所提出的23個問題。希爾伯特在報告中強調問題對於數學發展的重要性，並且根據他十多年對於數學諸多領域的探討中所考慮的大量問題選出他認為對未來發展有重大意義的一些問題。大多數問題在20世紀的數學發展中起著重要的推動作用。許多問題得到圓滿解決或取得不同程度的進步，但也有少數問題有待進一步研究。下面列舉希爾伯特23個問題及其解決現狀。

　　①G.康托爾的連續統基數問題。此即連續統假設：

。1938年 K.哥德爾證明：如果策梅洛–弗倫克爾公理系統（ZF）是協調的，則連續統假設相對於ZF是協調的；1963年 P.J.科恩證明，連續統假設相對於ZF是獨立的；從而在ZF系統中，不能判定連續統假設是否成立。

　　②算術公理的無矛盾性。1931年，哥德爾證明瞭不完全性定理，從而推出用希爾伯特的有窮性方法不能證明自然數論的算術公理的無矛盾性。但指出要證明需在更強的理論中進行。1936年G.根岑用超窮歸納法證明算術公理的無矛盾性。

　　③存在兩個等底等高的四面體不能剖分為對應相等的諸多小四面體。實際上1896年R.佈利卡已經部分解決，其後M.W.德恩在1900年利用不變量完全解決。

　　④直線作為兩點間最短距離的問題。希爾伯特主要考慮以此為公理的幾何學。1973年蘇聯數學傢波格列洛夫聲稱解決瞭對稱距離的情形。但希爾伯特可能對非對稱距離更感興趣，這種情形幾乎不可窮盡。

　　⑤從M.S.李的連續變換群概念中去掉定義群的函數的可微性假設。1952年由美國數學傢A.M.格利森、D.蒙哥馬利和L.齊平完全肯定地證明。

　　⑥物理學的公理化。希爾伯特和他的學生們對此問題進行瞭廣泛的研究，但他們的想法與後來的新興物理學及其公理化並不一致。在希爾伯特的框架內，G.哈梅爾在1903年對經典力學加以公理化，1909年，C.卡拉西奧多裡對經典熱力學公理化。1933年，蘇聯數學傢A.N.科爾莫戈羅夫對概率論進行公理化。

　　⑦某些數的無理性與超越性。問題前一部分涉及超越函數的特殊值的超越性。1929年德國數學傢C.L.西格爾首先得出一般定理，特別如貝塞爾函數J0(z),當z取代數值時是超越數。問題後一部分在1934年由蘇聯數學傢A.O.蓋爾豐德和德國數學傢T.施奈德獨立證明，即對於任意代數數α≠0,1,和任意無理代數數β，αβ是超越數。

　　⑧素數問題。這問題可分為3個子問題：黎曼假設（見黎曼猜想），未解決；哥德巴赫猜想、孿生素數猜想（見孿生素數）等，未解決；一般域的素數問題及有關猜想，一個重要成果是韋伊猜想，即有限域上代數簇的ζ函數的黎曼假設，在1973年由P.德利涅證明。

　　⑨任意域中最一般互反律的證明，1927年由E.阿廷完全證明。

　　⑩丟番圖方程可解性的判定，1970年由蘇聯數學傢Yu.V.馬蒂雅謝維奇否定解決。

　　⑪系數為任意代數數的二次型。1923年，德國數學傢H.哈塞建立瞭一般二次型理論。對於系數為代數整數的二次型，1936年，西格爾建立瞭一般理論。

　　⑫阿貝爾域上的克羅內克定理推廣到任意代數數域上。這個問題第一個進展是日本數學傢高木貞治在1920年證明虛二次域的情形。其他情形尚未完全解決。

　　⑬不可能用隻有兩個變數的函數解一般的7次方程。這個問題分兩部分：前一部分是問三元函數能否表為二元代數函數的疊加，這問題尚未解決；後一部分是問三元函數能否表為二元連續函數的疊加，這個問題與希爾伯特等人的期望相反，答案是肯定的，它是由蘇聯數學傢A.N.科爾莫戈羅夫和他的學生V.I.阿諾爾德在1957年證明的。

　　⑭某些完備函數系的有限性的證明。這是不變式論的一個重要發展。當變元數為1或2個時，1954年O.紮裡斯基得到肯定的證明，1958年永田雅宜對4個變元情形舉出反例，其後瑞司對3個變元情形也舉出反例。

　　⑮舒伯特計數演算的嚴格基礎。代數幾何學的嚴格基礎先後由B.L.范·德·瓦爾登（1939）、A.韋伊（1946）、A.格羅森迪克（1958）等建立。但舒伯特演算及其取得的幾何數大多尚有待證實。

　　⑯代數曲線與曲面的拓撲。這問題分兩部分：第一部分，代數曲線和曲面的封閉分支的數目及其相互位置。希爾伯特關於6次平面曲線的推測已有反例。整個問題尚未解決。第二部分，極限環的數目。尚未解決。

　　⑰正定形式的平方表示，1927年由阿廷完全解決。

　　⑱由全等多面體構造空間。這問題分3個獨立問題：第一個問題，n維歐幾裡得空間的晶體群隻有有限多。1910年由德國數學傢L.比伯巴赫證明。第二個問題，是否存在非基本域可填滿整個空間。1928年K.萊因哈特造出一個復雜的多面體例子。1935年H.希施造出十分簡單的二維例子。第三個問題，n維歐氏空間中球的最密堆積。已知n=2,8,24維情形，n=3為開普勒猜想。

　　⑲正則變分問題的解是否解析的問題。1904年俄國數學傢S.N.伯恩斯坦在兩變元情形對3次連續可微的解予以肯定的證明。其後結果降到2次連續可微以及多變元情形。對於橢圓方程組情形也成立。

　　⑳一般邊值問題。1910年伯恩斯坦首先對特殊情形給出肯定的解答。其後推廣到多種情形。但也存在一些情形解不存在。對於所有一般邊值問題是否能夠定義廣義解，並且廣義解存在則尚未解決。

　　鋇具有給定單值群的線性微分方程存在性的證明。對一些情形有肯定的證明。但一般情形由蘇聯數學傢鮑裡佈魯赫於1990年否定解決。

　　漮通過自守函數使解析關系單值化。1907年H.龐加萊和P.克貝獨立證明兩變量之間的解析關系可單值化。多變量情形尚未解決。

　　歞變分法的進一步發展。從1900年希爾伯特證明狄利克雷原理之後，變分法取得重大進展，甚至超出希爾伯特對19、20和23問題所設的研究綱領。